Intersection de deux sous-espaces vectoriels

[charlie18]

Bonjour !

J'ai un exercice que voilà :

Dans ℝ⁴, on considère F={(x,y,z,t)∈ℝ⁴/x+y+z+t=0} et G={(x,y,z,t)∈ℝ⁴/x+y-z-t=0}
1) Vérifier que F et G sont des sous-espaces vectoriels de ℝ⁴.
2) Pour chacun d'eux, trouver une base et déduire leur dimension.
3) Déterminer F⋂G et sa dimension.

J'ai fait les questions 1) et 2) sans trop de mal, je bloque pour la question 3). Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment faire ?

Merci d'avance,
Bonne journée.
-----

[God's Breath]

Je ne vois pas de problème : si tu sais trouver une base du sous-espace vectoriel F défini par l'équation , aussi bien que du sous-espace vectoriel G défini par l'équation , tu devrais, avec la même méthode, trouver une base de leur intersection définie par le système d'équations :

[charlie18]

Je ne vois pas de problème : si tu sais trouver une base du sous-espace vectoriel F défini par l'équation , aussi bien que du sous-espace vectoriel G défini par l'équation , tu devrais, avec la même méthode, trouver une base de leur intersection définie par le système d'équations :

Je ne suis plus trop sûre des mes deux premières questions du coup...

[God's Breath]

Comment as-tu résolu la question 2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[charlie18]

Je me suis dit que puisque la dimension de R4 est 4, il me fallait 4vecteurs pour faire une base. et j'ai cherché (sans calculs, car je ne savais pas comment m'y prendre autrement) et j'ai trouvé pour F par exemple, 4vecteurs : u1=(1,0,0,0) u2=(0,-1,0,0) u3=(0,0,1,0) u4=(0,0,0,-1)...
Est-ce juste ?

[silk78]

Bonjour,

Ce que tu as fait est faux.

Tout d'abord tes 4 vecteurs n'appartiennent pas à F donc ils en sont encore moins une base. Je pense que tu as cru que l'équation x+y+z+t=0 devait être vérifiée par les coordonnées de 4 vecteurs, alors qu'elle doit être vérifiée par les 4 coordonnées d'un seul vecteur, par exemple ici (1,-1,1,-1).

De plus, R⁴ nécessite bien 4 vecteurs pour en trouver une base car il est de dimension 4 mais attention, ses sous-espaces vectoriels peuvent être (et sont même quasiment tout le temps) de dimension inférieure. Tu peux donc avoir un sous-espace de R⁴ dont une base est formée de 3 vecteurs par exemple.

Je te conseille de revoir ta définition de sous-espace vectoriel et de base avant de t'y remettre.

Silk

[charlie18]

Je ne vois pas comment faire alors...

Merci quand même..