J'ai une autre solution du problème pas très différente des précédentes.
Proposition 1 :
La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel
Démonstration :
Soit a un nombre rationnel et b un nombre irrationnel
Il existe donc (p;q)€Z² premiers entre eux tels que a=p/q
Raisonnons par l'absurde et supposons que a+b soit rationnel
Il existe donc (r;s)€Z² premiers entre eux tels que a+b=r/s
Donc b=(r/s)-a=(r/s)-(p/q)=(rq-ps)/(qs)
Donc b est rationnel, ce qui est absurde
a+b est donc irrationnel
Proposition 2 :
Le produit d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel
Démonstration :
Soit a un nombre rationnel et b un nombre irrationnel
Il existe donc (p;q)€Z² premiers entre eux tels que a=p/q
Raisonnons par l'absurde et supposons que ab soit rationnel
Il existe donc (r;s)€Z² premiers entre eux tels que ab=r/s
Donc b=r/(as)=(qr)/(ps)
Donc b est rationnel, ce qui est absurde
ab est donc irrationnel
Démonstration du problème proposé :
Soit (a;b)€Q²
Il existe donc (p;q)€Z² et (r;s)€Z² tels que :
-p et q soient premiers entre eux et a=p/q
-r et s soient premiers entre eux et b=r/s
On suppose √a irrationnel et √b irrationnel
Raisonnons par l'absurde et supposons que √a+√b soit rationnel
Comme √b est irrationnel, alors -2√b est irrationnel donc d'après la proposition 1, √a+√b-2√b=√a-√b est irrationnel
Donc d'après la proposition 2, (√a+√b)(√a-√b) est irrationnel
Or (√a+√b)(√a-√b)=a-b=(p/q)-(r/s)=(ps-rq)/(qs) est rationnel, ce qui est absurde
Par conséquent √a+√b est irrationnel
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