Approximations de certains cosinus

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai trouvé dans un cours d'algèbre les approximations : , , , et quelques autres.

J'aimerais savoir : ces approximations ont une origine précise, ou bien les a-t-on trouvées "en tatonnant" ?

Merci d'avance,
Phys2
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[deyni]

Bonjour.

La plupart du temps, on les obtient par l'aide de la formule d'Euler, en multipliant 2 complexes entre eux.

Je vais vous donnez des exemples.

[Seirios]

Mais la formule d'Euler sert à calculer leur valeur exact, ce qui ne m'intéresse pas ici ; ce qui m'intéresse, c'est obtenir une approximation de ces cosinus en fonction de radicaux (j'avais pensé à utiliser les formules de Taylor, mais va intervenir dans les expressions).

[invitea3eb043e]

Ca peut très bien être des coïncidences : il y a des gens très forts pour jongler avec les chiffres ainsi.
Ceci dit, ce n'est pas comme les approximations de pi : 22/7, 355/113 qui correspondent à des développements en fractions continues.
Mais il va peut-être y avoir quelqu'un qui sait !

[A voir en vidéo sur Futura]

[deyni]

Bonjour.

Voici un exemple concret de ma méthode:




On prend z1=1+i
z2=1-i

z1*z2=2*
et z1*z2=1++

On compare partie imaginaire et réelle:



D'où cos(pi/12) et sin(pi/12)

[Seirios]

Mais cela fonctionne parce que 12 se décompose "raisonnablement". D'ailleurs, on peut simplement utiliser que , ce qui permet de trouver la valeur exacte.

Mais cela devient plus compliquer avec un nombre premier par exemple, comme , surtout qu'ici, l'intérêt est de trouver une approximation simple et relativement précise en fonction de radicaux.