Détermination de loi de proba

[invitebd2a29cb]

Bonsoir à tous.
Je suis sur un exo de proba sur lequel je bloque vraiment. J'aimerai pas forcément une réponse aux questions de mon exo mais des indications, des pistes. Voici l'exo :

Un démarcheur doit téléphoner à n correspondants. A chaque essai la probabilité d'obtenir le correspondant appelé est p.
Le démarcheur compose successivement les n numéros (première vague d'appels) et on note X₁ le nombre de succès. Il compose ensuite successivement les n - X₁ numéros non obtenus à la première vague et obtient alors X₂ succès (deuxième vague d'appels), etc....
1) Donner les lois des variables aléatoires X_i, la loi de la variable aléatoire S_k définie par :
S_k = X₁ + X₂ +........+ X_k
Ainsi que la loi de la variable V égale au nombre de vagues nécessaires pour obtenir les n correspondants.
2) Donner la loi du nombre d'essais Y nécessaires pour obtenir un correspondant donné et la loi du nombre total d'essais T nécessaires pour obtenir tous les correspondants. Calculer E[Y], V[Y], E[T] et V[T].

1) Je trouve : X₁ suit B(n,p) et pour tout i>1 X_i suit .
Je n'ai aucune idée pour S_k, je remarque néanmoins que S₁ = X₁.
Voilà le maigre butin de mes recherches.
Je vous remercie d'avance.
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[invitea07f6506]

Attention pour le 1) : si ce que tu as écris est correct, cela ne répond pas à la question. On demande la loi de , pas la loi conditionnelle de sachant , ..., .

Petit truc qui devrait faciliter grandement l'exercice : considère que l'on a correspondants, et que l'on tire a priori le nombre d'appels nécessaires pour joindre chacun d'entre eux. Mettons que est le nombre d'appels pour obtenir le correspondant .

a) A fixé, quelle est la loi de ? Les sont-elle indépendantes ?

b) Exprimer les variables , et en fonction des .


Bien sûr, ça revient à mettre la question 2) avant la question 1), mais ça simplifie beaucoup le problème, et honnêtement la seule façon que je vois de faire la question 1) est de faire la question 2) de façon déguisée.

[invitebd2a29cb]

Bonjour. Tout d'abord merci pour ta réponse.
C'est vrai, ma réponse ne correspond pas à la question posée dans 1)
Quand je suis ton indication, je trouve
a) Z_i suit la loi géométrique de paramètre. Les Z_i sont indépendants puisqu'avoir un correspondant donné ne dépend pas de ce qu'on en ait déjà obtenu d'autres.
b) J'ai fait une simulation avec n=6 (1ière vague, 2ième ....). J'ai déterminé les Z_i correspondant, puis les X_k. Ce qui me conduit aux résultats suivants:
Z1 = 3, Z2 = 3, Z3 = 2, Z4 = 4, Z5 = 6, Z6 = 7.
X7 = 1, Z6 = 1, X5 = 0, X4 = 1, X3 = 2, X2 = 1, X1 = 0.
Cela m'a permis de remarquer que X_k vaut le nombre qu'on rencontre k dans les Z_i. Ce qui m'emmène à la formule barbare que voici : . J'ai vérifié et c'est bon mais je ne vois pas trop ce qu'on peut faire avec cette formule donc je donne ma langue au chat. A moins que tu (ou quelqu'un d'autre) estimes qu'il faille que je continue avec.
Merci d'avance.

[invitea07f6506]

Pour l'instant, c'est juste, tu t'es juste arrêté un pas trop tôt.

Je réécris : est le nombre de variables aléatoires qui valent . Sachant que les sont indépendantes et identiquement distribuées.

Si tu as toujours du mal à trouver, une indice supplémentaire : que vaut ? Il n'y a pas de piège, tu as déjà donné la réponse.

Après, on fait pareil pour calculer (nombre de telles que...). Pour et , la méthode change un peu, mais une fois qu'elles sont exprimées en fonction des , les calculs sont classiques.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebd2a29cb]

Bonsoir.
J'arrive à trouver la loi de proba des X_k mais je n'arrive pas à exprimer les X_k en fonction des Z_i. Je m'explique.
cas X₁. X₁ représente le nombre de variables aléatoires Z_i qui valent 1.
Pour tout i de [1 , n], p(Z_i=1)=(1-p)^1-1p¹=p
L'événement "X₁=k" correspond à "Dans les n Z_i, k valent 1 (probabilité : p^k) et les n-k restant ne valent pas 1 (probabilité (1-p)^n-k)", cette réalisation peut se faire en autant de fois qu'il y a de combinaisons de k éléments pris dans un ensemble à n, soit C(n,k). Compte tenu de l'indépendance des variables Z_i il vient : p(X₁=k)=C(n,k)p^k(1-p)^n-k. Ce qui rejoins bien mon résultat sur X₁, à savoir X₁ suit B(n,p).

Cas X_k
p(Z_i=k)=(1-p)^k-1p = p_k
"X_k=j" <==> "Dans les n Z_i, j valent k (proba (p_k)^j) et les n-j restant ne valent pas k (proba (1-p_k)^n-j)".
Compte tenu de ......
il vient p(X_k=j)=C(n,j)(p_k)^j(1-p_k)^n-j soit X_k suit B(n,p_k).

Serait ce ça?

[invitea07f6506]

C'est ça

[invitebd2a29cb]

Ok, merci.
Du coup plus besoin d'exprimer les X_k en fonction des Z_i. Comment alors exprimer les S_k en fonction des Z_i? J'aimerai bien que tu finisses ta phrase : "...S_k(nombre de Z_i telles que...)". Si t'as d'autres d'indications alors je suis preneur.

p.s. : je n'ai pas encore bien cherché, mais juste pour savoir, est ce qu'une loi multinominale serait dans les parages? J'intuite que non mais j'aimerai m'en rassurer.

[invitea07f6506]

Pas de loi multinomiale en vue, on reste sur des binomiales.

On a :



Ben, pour , ça va être sensiblement pareil :



Sachant que les variables aléatoires sont indépendantes...

[invitebd2a29cb]

Ok, on aurait donc ?

[invitea07f6506]

Rah, je croyais pourtant avoir fait un bon parallèle...


Remarque préliminaire.

Soient , ..., des variables aléatoires indépendantes, valant avec probabilité et 0 avec probabilité . Alors suit une loi binomiale

En particulier, si , ..., sont des variables indépendantes et identiquement distribuées, et si on se donne un évènement , alors le nombre de qui ont la propriété (ou appartenant à , c'est comme tu veux) suit une loi binomiale . En effet, on a :



et il suffit de se référer au paragraphe précédent. L'avantage, c'est que peut être n'importe quelle propriété : avoir une certaine valeur, être plus grande ou plus petite qu'une valeur donnée, être compris entre et ou bien entre et ...


Application.

Relire mon message précédent.

[invitebd2a29cb]

Bonsoir.
Ta remarque préliminaire est une propriété que j'ignorais.
Je trouve
Et donc S_k suit B(n, 1-(1-p)^k).

En fait, cet exo a été corrigé en TD aujourd'hui. On a utilisé des méthodes moins sophistiquées mais on a trouvé les mêmes résultats que ceux que j'ai trouvé avec tes précieuses indications.

Vraiment, merci beaucoup pour ton aide.

@ bientôt!