Proba - loi de poisson

[inviteb0e7419b]

Bonjour à tous, j'ai un problème assez classique je pense avec une loi de poisson à résoudre :

Le nombre X de clients d'un grand magasin suit une loi de Poisson de paramètre lambda. Dans ce magasin, chaque client à la probabilité p de se faire voler son portefeuille. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y égale au nombre de portefeuille volés.

Je disais que le problème est assez connu parcequ'une recherche sur google montre que l'exercice apparait dans plein de PDF de différentes université ... malheureusement, pas un seul corrigé :/

Bref.
Sur ma feuille de brouillon j'ai :
X : Nb de clients
Y : Nb de portefeuilles/clients volés
lambda : Nb moyen de client habituellement

La définition de Y nous donne :
P(Y=1) = P("1 portefeuille volé sur X clients")
P(Y=2) = P("2 portefeuille volé sur X clients")

Et voila, je sais vraiment pas dans quelle direction partir, sur quoi commencer ... help
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[invite986312212]

salut,

la réponse est que c'est une loi de Poisson de paramètre

il y a deux façons de le voir.

directement: si le nombre de clients X vaut n, alors le nombre portefeuilles volés Y suit une loi binomiale de paramètres n et p. Et donc

Il faut développer le coefficient binomial, arranger un peu les termes, faire le changement de variable m=n-k et on trouve


ou d'une façon plus intéressante et qui peut être généralisée, à l'aide de la fonction génératrice des probabilités. Si tu ne connais pas, c'est la fonction (en toute rigueur elle ne dépend que de la distribution et pas de X mais la notation est plus simple comme ça).
A titre d'exemple, si suit la loi de Bernoulli de paramètre , . On montre facilement que la fonction génératrice de la loi de Poisson est

Si est donné, où les sont i.i.d. alors . Par exemple, si suit la loi binomiale de paramètres et , alors peut être vu comme la somme de v.a. suivant la loi de Bernoulli et en conséquence .

Si maintenant où les sont i.i.d. et est une v.a. entière, alors ou en d'autres termes .

En effet,

maintenant, pour un client donné, est la variable "le portefeuille est volé", donc suit la loi de Bernouilli de paramètre . Le Nombre de clients suit la loi de Poisson de paramètre . La fonction génératrice de la loi du nombre de portefeuilles volés est donc qui est celle de la loi de Poisson de paramètre (la relation entre lois et fonctions génératrices est biunivoque).

[inviteb0e7419b]

Merci pour ta réponse.

J'ai compris pourquoi tu définis la loi de Y de cette façon, mais je coince dans le calcul.
Pour simplifier la somme il faut utiliser quelle technique ?

Au mieux, j'en arrive ici :


(J'ai développé le coeff binomial, simplifié un peu et sorti les constantes de la somme ... mais après )

Sinon, par un savant mélange de "simplifications bancales" et le changement de variable m=n-k, j'en suis arrivé ici :



Dans tous les cas, je bloque sur la simplification de la somme, help

[inviteb0e7419b]

Double post involontaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Tu y es presque : prends ta première expression, mets en facteur.
Dans ta somme tu n'as plus que des (n-k). Pose m= n-k et souviens toi que
exp(x)=sum x^n/n!

[inviteb0e7419b]

Effectivement, c'était la simplification exp(x)=sum(x^n/n!) à laquelle je n'ai pas pensé (honte à moi) qui me bloqué.
J'ai donc bien trouvé une loi de poisson de paramètre .

Merci à vous 2

[invite5371fca6]

bonjour aidez moi a trouver des document portant sur lapproximation d une loi binomial par la loi poisson et normal merci a toue personne