Loi de proba pour jeux de rôles

[invite7553e94d]

Bonjour à tous.
Je me suis posé la question suivante :
Je lance dés 10 et je garde les meilleurs. Quelle est l'espérence d'un tel lancé ? Quelle loi suit cette expérience ?

La difficultée est que si on onbtient un 10 avec un dé, on le relance et on ajoute 10 au nouveau résultat (qui peut être à ouveau un 10 et re-belotte ...).
Le résultat obtenu est la somme des résultats indivuels des dés.

J'ai commencé à y réfléchir ce matin (sous la douche), j'ai tenté de construire un arbre, mais il est infini ... Alors j'ai raisonné en résultats : Quel est la proba d'obtenir moins que 4 ? 0,
exactement 4 ?
exactement 5 (là ça se complique) :
etc.

Mais vous voyez qu'aorès ça se complique franchement, les permutations deviennent de plus en plus complexe une fois qu'on par du principe que l'on peut "faire exploser les dés" (ie. les rejouer après obtention d'un 10).

Et ne parlons pas de la loi de proba


En tant que grand fénéant, je serais le plus heureux de voir, en revenant sur ce fil, mon problème résolu par un membre éclairé ... mais en tant que réaliste, ej sais qu'il serait préférable que vous me fournissiez les outils et aides nécessaires à la résoltuion du problème, que je trime un peu

Je vous remercie de m'avoir lu jusqu'ici .
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[invite7553e94d]

Eratum : LOI pas LOIE !!! (j'ai honte)

[yat]

Pour résoudre le problème de l'arbre infini (et seulement celui-là), tu peux peut-être utiliser une petite pirouette. Si je simplifie le problème à l'extrème, ça te permettra de voir le truc et de l'adapter.

Le problème simplifié est de tirer un dé, et de relancer sur les 10 ad vitam aeternam. Ici on calcule uniquement l'espérance mathématique (je simplifie beaucoup, c'est juste pour expliquer le truc qui évite l'arbre infini). Supposons que tu connais déjà l'espérance mathématique X (oui, c'est récursif ). Tu peux donc déduire que X=1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+(10+X)/10, en remarquant que tirer un 10 au premier lancer revient simplement à partir d'un score de 10 et recommencer une partie. Ce X=(55+X)/10 te permet donc de déterminer que l'espérance de ce jeu est de 55/9.

Après, evidemment, il faut adapter ce raisonnement à la loi de répartition, au fait qu'il y ait plusieurs lancers autorisés dès le départ, et surtout au fait de ne garder que les meilleurs.

[invite7553e94d]

À la limite, l'espérence de lancés est . Mais ensuite il faut prendre en compte que je lance en réalité dés ... TU me préconnise quoi ?

Quand à la loi de proba, je ne vois pas le rapport
Merci à toi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

À la limite, l'espérence de lancés est . Mais ensuite il faut prendre en compte que je lance en réalité dés ... TU me préconnise quoi ?

Moi... euh... de faire un programme...
Non, franchement, pour le problème de relancer les 10, je vois bien le truc, pour garder les n meilleurs, pas de problème non plus avec du dénombrement bien brutal, mais mélanger les deux, ça me pose des problèmes un peu plus sérieux. Bonne chance

[invite7553e94d]

Ok , si yat n'y arrive pas, je n'ai aucune chance
ALors plan b) : faire un programme.

Mais je ne veux pas des tables, je veux ma loi de proba et mon espérence !!! Alors comment faire ? matlab (je sais pas m'en servir) ? Créer une feuille de calcul excel ? et ensuite ???

Vas-y balance j'ai le compilo qui chauffe !

[yat]

Ok , si yat n'y arrive pas, je n'ai aucune chance

(la réputation que je me trimballe...)
T'as pas du voir le fil récent sur la numérotation des combinaisons du loto. Sans vouloir balancer, pendant que mmy sortait une formule toute simple, moi j'étais en train de m'engluer dans des doubles sommes de combinaisons. Après il ne me restait plus qu'à me taper les calculs pour sauver l'honneur

Moi quand je parle de faire un programme, je pense que c'est exactement le contraire de ce que tu veux : entrer n, entrer ng, et faire un petit million de tirages pour approcher la loi de répartition. Il y a forcément beaucoup plus efficace, élégant et précis, mais je ne vois pas.

[invité576543]

Bonjour,

Une piste... Je note m la valeur ng, par flemme..

Première étape, calculer la probabilité de la valeur charnière. Si elle vaut k, on a 10-m valeurs entre 1 et k-1, et m valeurs entre k et 10. Le dénombrement doit pouvoir se faire.

Ensuite, conditionnellement à k, l'espérance de la somme n'est pas trop dure, c'est m(10+k)/2

Je ne vais pas faire le développement, mais ça semble une bonne piste...

Cordialement,

EDIT: Croisement... Désolé, Yat...

[invité576543]

J'ai oublié le fait qu'il y a au moins une valeur égale à k, ça change un peu les choses...

En particulier, l'espérance de la somme est k+(m-1)(10+k)/2

Cdlt,

[invite7553e94d]

Heu ... valeur charnière ?? C'est-y quoi ça donc ?

[invité576543]

Heu ... valeur charnière ?? C'est-y quoi ça donc ?

La valeur du ngième dé, une fois classés dans l'ordre de valeur...

Cdlt,

[invité576543]

Message annulé... fausse manip

[invité576543]

Proposition brute de fonderie, à suivre...

Sur un total de 10ⁿ, le nombre de tirages pour lesquels la valeur charnière est k doit être quelque chose comme

Somme pour a+b+c = n-1, a<m, a+b+1>m de

Pas évident que ça donne une formule fermée avec les conditions sur a, b et c...

Cdlt

[invite636fa06b]

Bonjour à tous.
Je me suis posé la question suivante :
Je lance dés 10 et je garde les meilleurs. Quelle est l'espérence d'un tel lancé ? Quelle loi suit cette expérience ?
La difficultée est que si on onbtient un 10 avec un dé, on le relance et on ajoute 10 au nouveau résultat (qui peut être à ouveau un 10 et re-belotte ...).
Le résultat obtenu est la somme des résultats indivuels des dés.

Je me savais posséder un léger handicap intellectuel mais là je n'ai rien compris à l'expérience aléatoire. la lecture des réponses de yat et mmy ne m'a pas éclairé.
Hypothèse : on lance n dés 10 fois(?) et on garde les "meilleurs"=plus élevés ?, meilleurs parmis n ou parmis 10n ?
A chaque lancer, on rajoute à un résultat (ah bon, la somme des dés affichés) 10 fois le nombre de dés qui affichent 10 (au fait le dé, il a combien de faces 18,3 ?) et on rejoue les dés concernés

bravo à yat et mmy !

[invité576543]

Bonsoir,

Ce que j'ai compris (ça permettra à prgasp de confirmer, ou non)

On tire n dés à 10 faces, on prend les ng plus grandes valeurs obtenues, et on les additionne.

Exemple, n=20, et ng=4; si on tire 2 dix et 3 neuf, et 15 autres dés de 8 ou moins, les 4 meilleurs sont 10, 10, 9 et 9, et le total est 38.

Ca c'est sa première question.

Pour la suite de son message, j'ai quelques difficultés à suivre... Je pense qu'il prend le cas ng=4.

Dans ce cas le min du total est 4. La valeur 4 est obtenue avec le tir des n dés à 1, soit 10^-n de proba, OK. La valeur 5 est obtenue avec n-1 dés à 1, et un dé à 2, proba de n 10^-n ça colle...

Cordialement,

[invite636fa06b]

Merci,
Effectivement ce n'est pas simple.
En outre, il y a la possibilité de rejouer les dés qui donnent 10.
Si n est assez grand, une somme de VA uniformes se rapproche assez vite d'une loi normale.
On peut alors calculer la proba d'une valeur charnière et aussi introduire l'effet additif de nouveaux lancers.
Ce type de calcul conduirait à considérer comme indépendantes des VA qui ne le sont pas mais devrait permettre d'approcher la distribution réelle.

[invite636fa06b]

Bonjour,
Deux petites questions complémentaires à prgasp77:
Quels ordres de grandeur pour n et ng ?
Lorsqu'on relance un 10, le choix des meilleurs a déjà été fait ou le sera après ?
Pour préciser la dernière question, supposons que l'on rejoue un dix et que l'on obtienne 1. Est-ce que ce 1 devra être gardé dans la somme ou pourra être éliminé au profit d'une valeur supérieure (que l'on pensait ne pas prendre avant la relance) ?

[invité576543]

En outre, il y a la possibilité de rejouer les dés qui donnent 10.

Si prgasp pouvait expliquer ce que cela veut dire, j'ai peut-être une chance de comprendre!

Hypothèse: ce qu'il appelle 1 tirage (et au total il y aura exactement n tirages), c'est l'ensemble de l'opération qui consiste à tirer un dé jusqu'à ce que le résultat donne autre chose que 10, et de faire le total.

Auquel cas cela revient à parler d'un "dé" dont la loi de probabilité est :

en notant (i-1)%10 la division entière de i-1 par 10

p(tirage = i) = 10^{-(i-1)%10 - 1} si i modulo 10 différent de 0, et 0 sinon

Je n'avais pas pris cela en compte, ça complique effectivement pas mal les choses...

Cordialement,

[invite636fa06b]

Je n'avais pas pris cela en compte, ça complique effectivement pas mal les choses...

En fait si le choix se fait après relance, ça ne complique pas vraiment.
Le résultat est alors la somme de deux VA indépendantes.
1 D=l'apport des 10 rejoués
2 S=la somme des ng résultats d'un dé à 9 faces (puisque le 10 n'est pas accessible)
Si le choix se fait avant, c'est un peu plus compliqué car les VA ne sont plus indépendantes.
La loi de D ne devrait pas etre trop difficile à calculer.
P(D=0)=0,9^n
P(D=10)=
P(D=20)=
ensuite ça se complique un peu

[invite636fa06b]

Juste une précision
La loi de D est de fait Prob(D=10k)=

[invité576543]

Je ne comprend pas les "avant" et "après".

Si n=6, ng=2, et que les tirages sont

12 1 13 5 22 7

La seule méthode déterministe est de considérer que le résultat as 13+22. Je ne sais pas si ça correspond à "après" ou "avant".

L'autre méthode n'est pas claire. Ce serait de prendre 12+13 ???

Cordialement,

[invite636fa06b]

D'accord, j'avais sans doute mal lu.
En fait quand tu écris résulat =12, cela signifie 10 puis 2 au deuxième tirage.
J'avais compris que l'on gardait le 10 et que l'on rejouait le dé. Le résultat final était alors la somme des ng meilleurs résultats sur les n affichés à laquelle on rajoute les dix "gardés". Le 10 sera conservé mais sans doute pas le 2.
C'était le sens de choix "après".
Le choix "avant" revient à ce que tu écris : si après relance, le résultat final est un, ce 1 interviendra dans le résultat alors que l'on a éliminé des 2...
C'est dommage, avec mon interprétation, le calcul devenait plus simple

[invité576543]

Sinon, il fait quoi, prgasp... Il pose une question et puis il s'en va alors qu'on cherche à comprendre sa question ???

Cdlt,

[invite7553e94d]

En effet, je n'ai pas était clair. Je me ré-explqie :
On joue avec des dés 10, ie des dés numérotés de 1 à 10. Je lance N dés et j'en garde n une fois lancés de manière à obtenir le résultat le plus grand possible (je change les notations pour mmy ... et parce-qu'il est vrai que c'est plus simple comme ça ).

Comment connaitre, selon le lancé le résultat obtenu ? C'est plus simple qu'il n'y parrait : tous les dés sont traités indépendament. imaginons que le dé 1 donne 5 -> résultat de ce dé : 5. Le dé 2 en revanche affiche 10, dans ce cas on dit qu'il explose, je le rejoue et j'additionne son nouveau résultat au précédent (10) ; ex : s'il donne 4 au nouveau lancé, son résultat sera 10 + 4 = 14. Il n'y a pas de limite sur le nombre d'explosions d'un dé.

Afin de connaitre le résultat global des N dés, je prends les n dés ayant obtenu les plus grands résultats et j'en fait la somme.


Exemple, N = 7 - n = 4 :
dé 1 -> 7
dé 2 -> 10 + 5 = 15
dé 3 -> 1
dé 4 -> 8
dé 5 -> 4
dé 6 -> 10 + 10 + 1 = 21
dé 7 -> 4
Je garde les dés 6, 2, 4, et 1. Le résultat de mon lancé est 21 + 15 + 8 + 7 = 51 (je t'aime, j'en boirai des tonneaux ...)


Les valeurs N et n ne sont théoriquement pas bornées mais varient en général entre 10 et 1.


Je plencherai sur vos idées plus tard, là je suis débordés. Je vous dis un GRAND MERCI de prendre ce sujet autant à coeur. Vive FS !

--gasp in touch
ps : pas le temps de me relire
ps2 : notez que

[invite636fa06b]

Bonsoir,

Oui, c'est bien comme mmy l'avait compris. La loi de chaque tirage est donc comme il l'a indiqué avec des passages à zéro pour les multiples de 10. Il faut peut-être s'attaquer à un problème simplifié ou programmer le calcul ?

[invite7553e94d]

Ici on calcule uniquement l'espérance mathématique (je simplifie beaucoup, c'est juste pour expliquer le truc qui évite l'arbre infini). Supposons que tu connais déjà l'espérance mathématique X (oui, c'est récursif ). Tu peux donc déduire que X=1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+(10+X)/10, en remarquant que tirer un 10 au premier lancer revient simplement à partir d'un score de 10 et recommencer une partie. Ce X=(55+X)/10 te permet donc de déterminer que l'espérance de ce jeu est de 55/9.

On note Ngn un lancé de N dés, avec n gardés.
Selon yat, l'espérence d'un 1g1 est de , et cela me parait tout à fait logique.
Pour un lancé NgN (cas où ), l'espérence est donc de

Mais qu'en est-il de l'espérence d'un lancé Ngn ? La répartition des résultat n'entre-t-elle pas en jeu ? Je vous avoue me perdre un peu ...

Enfin soit, j'ai fait un chti prog pour confirmer l'espérence de NgN, et j'espère celle de Ngn plus tard

Merci encore.

--gasp in touch

[invité576543]

On peut y aller avec de gros sabots pour avoir une idée grossière.

On remplace chaque valeur tirable par une gaussienne de petit écart type , de manière qu'il n'y ait jamais deux tirages identiques, et de passer en continu

Notons c(x) = prob(tirage <x)

La probablité de la valeur charnière y pourrait être qq chose comme



Il y a p'tet un problème de normalisation...

L'espérance du tirage est alors



Où E(y) est la moyenne du tirage conditionnellement à ce qu'il soit supérieur à y.

Par intégration numérique on doit pouvoir donner la valeur... En choisissant suffisamment petit mais pas trop...

Avec mathematica par exemple, on peut peut-être y arriver...

Cordialement,