Groupe

[invite39876]

Bonjour,
Je bute sur l'exo suivant.
Soit G un groupe de lie, montrer qu'il existe trois applications différentiables, m:GxG->G, e:{point}->G et i:G->G telles que les conditions suivantes soient vérifiés
i) m(m × idG) = m (idG × m) en tant que morphismes G × G × G → G
ii)m (idG × e) = p1 et m (idG × e) = p2 ou p_i désigne la projection de GxG sur le ieme facteur.
iii)m (idG × i) d = eG et m (i × idG) d = eG avec eG la composé de G->point->G et d l'immersion diagonale.

Réciproquement montrer que toute variété différentielle munie de e,m,i comme ci dessus est un groupe de Lie.

Montrer que ceci confère à Hom(X,G) une structure de groupe pour tout X variété différentielle. ON dit que G est un objet groupe dans la catégorie des variétés différentielle.

Comment trouver ces applications m, i et e?
Merci de votre aide!
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[invite57a1e779]

Les noms sont éloquents :
m : (x,y) ->xy
e : point -> 1 (neutre de G)
i : x -> x^-1

[invite39876]

Ah d'accord, en fait les propriétés i, ii, et iii sont impliquées par l'associativité, le neutre et l'inverse... Cool!
Mais... pour la reciproque comment etre sur que 'lon va bien envoyer le neutre sur le neutre et l'inverse sur l'inverse?
Si par hasard e envoie 1 sur autre chose que le neutre?
J'ai l'impression que la reciproque ne marche pas.
Quand a la structure de groupe sur Hom(X,G)? je comprends pas les morphismes de groupes ca a toujours une structure de groupe?
Merci de votre aide!!

[invite57a1e779]

Je ne comprends pas :

Si par hasard e envoie 1 sur autre chose que le neutre?

– si G est un groupe, les objets liés à la structure du groupe permettent de définir m, e et i ;
– si G est muni d'applications m, e et i, ces applications permettent de définir une loi de groupe.

La loi sur Hom(X,G) est simplement donnée par :
fg : x -> f(x)g(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39876]

Je ne comprends pas :

– si G est un groupe, les objets liés à la structure du groupe permettent de définir m, e et i ;
– si G est muni d'applications m, e et i, ces applications permettent de définir une loi de groupe.

La loi sur Hom(X,G) est simplement donnée par :
fg : x -> f(x)g(x)

Ok, mais dans le cas sur Hom(X,G), ne faudrait il pas donner plutot la loi par m(fxg)?

[invite57a1e779]

C'est une question de notation de la multiplication du groupe G...
D'autre part, m est définie sur GxG, pas sur Hom(X,G)xHom(X,G).

[invite39876]

Oui la composée de m par fxg, je voulais dire.

[invite39876]

Par contre, j'ai encore besoin de ton aide si ca ne te derange pas, il y a une question subsidiaire que je ne suis pas sur de saisir.
On me demande, quels sont les objets groupes dans la catégorie des ensembles?
Celle des groupes?
Dans celles des groupes j'imagine que c'est les groupes, mais dans celles des ensemble?

[invite57a1e779]

Dans la catégorie des variétés différentielles, on demande que les applications m, e et i soient différentiables, ce qui restreint les possibilités pour les objets groupe : ce sont les variétés que l'on peut munir d'une structure de groupe de Lie.

Dans la catégorie des ensembles, on demande seulement que m, e et i soient des applications, ce qui est toujours le cas. Tout ensemble est un objet groupe parce que sur tout ensemble, il existe une structure de groupe.

[invite39876]

Tout ensemble est un objet groupe parce que sur tout ensemble, il existe une structure de groupe.

Alors la je ne comprends plus...
Si tout ensemble est un objet groupe, toutes les variétés differentielles sont des objets groupes, vu que ce sont des ensembles
Du coup toute variété peut être muni d'une structure de groupe de Lie?
Remarque après tout pourquoi pas... Je m’étais jamais posé la question. Mais c'est vrai qu'a priori il n'y a pas de raison pour qu'une variété ne soit pas munissable d'une structure de groupe de Lie.
Merci pour tes réponses!

[invitebe0cd90e]

Les groupes sont les objets groupes dans la catégorie des ensembles.

Pour les objets groupes dans la catégorie des groupes c'est un peu subtil, puisque il faut que les fleches soient des morphismes de groupes. Donc tu cherches les groupes G tels qu'il existe des morphismes de groupe m,e,i tels que tes conditions soient vérifiées. SI tu essaies de prendre pour m la loi du groupe, il me semble que ca t'impose que ledit groupe soit abélien.

[invitebe0cd90e]

Dans la catégorie des ensembles, on demande seulement que m, e et i soient des applications, ce qui est toujours le cas. Tout ensemble est un objet groupe parce que sur tout ensemble, il existe une structure de groupe.

Attention God's breath, un objet groupe n'est pas seulement l'objet sous jacent mais le uplet (G,m,e,i). Donc un même ensemble donne plusieurs objets groupes, et la bonne réponse est celle que je donnais au dessus : les objets groupes dans la catégorie des ensemble sont exactement les groupes.

En fait c'est même un peu la raison d'être de cette définition.

[invite57a1e779]

Du coup toute variété peut être muni d'une structure de groupe de Lie?

Non !!!

Tout ensemble peut être muni d'une structure de groupe : il suffit de définir une loi de composition interne avec toutes les bonnes propriétés...

Mais pour faire d'une variété différentiable un groupe de Lie, il faut que les applications m, e et i soient différentiables, et ça, ça n'est pas toujours possible.

[invitebe0cd90e]

Et dans la foulée : dans la catégorie des groupes, tu peux proceder comme suit, je pense: pour les distinguer je noterais les operations dans le groupe ab, etc..

- pusique e est un morphisme de groupe, tu dois avoir e(1)=1, donc le neutre de m est le neutre du groupe original.
- partant de la, puisque m est un morphisme de groupe tu as
m(a,b)=m((a,1)(1,b))=m(a,1)m(1 ,b). Puisque on vient de prouver que 1 est le neutre de m, ca donne m(a,b)=ab
notes qu'on montre de la meme maniere que m(a,b)=ba donc la loi de G doit etre commutative, et m est forcement egale à cette loi.
- de meme on montre facilement que

DOnc les objets groupes sont des groupes abeliens, et (m,e,i) sont leurs applications structurales. Reciproquement tout groupe abelien donne un objet groupe.

[invite39876]

Ok, merci a vous deux!
Et j'ai une question un peu folle (je ne sais meme pas si elle a du sens).
Peut on trouver une catégorie ou les objets groupes ne sont justement pas des groupes?

[invitebe0cd90e]

Salut,

Non seulement ca n'est pas idiot mais c'est meme l'un des interet de la définition ! Tu as vu que cette notion etait pratique pour definir de façon concise des types de groupes avec de la structure en plus (comme les groupes de Lie), mais si elle ne servait qu'a ca ca serait limité.

Donc elle sert aussi et surtout à créer des objets nouveaux qui auront une similarité avec les groupes. Bien sur ca ne marche pas dans n'importe quelle catégorie, il faut quelque chose qui ressemble au produit cartesien, et un objet terminal.

Je pense que l'un des exemples les plus simple est la notion d'algebre de Hopf, qui est un objet groupe dans la categorie des espaces vectoriels. Il s'ensuit que la theorie des representations d'une algebre de Hopf partage beaucoup de propriété avec celle des groupes, ce qui en fait de bons candidats pour coder des symétries lorsque on ne sait pas les exprimer avec des groupes, y compris en physique theorique par exemple.