compte de nombres premiers

[invitec2174952]

bonjour
petite question d'arithmétique ( enfin, c'est plus de l'analyse ) .
( excusez moi par avance : je ne sais pas encore utiliser le latex )

On dispose de la formule :

F(x) = x + O(x*exp(-A (log(x))^(1/2))). ( où F(x) est la fonction sommatoire de Von Mangoldt aussi appelé fonction de Tchebychev )

Il faut montrer, en utilisant la fonction sommatoire de Abel, la formule suivante :

Pi(x) = li(x) + O(x*exp(-A (log(x))^(1/2))).

où Pi(x) est la fonction de comptage des nombres premiers
li(x) est le logarithme intégrale


Merci par avance pour vos réponses

Cordialement
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[acx01b]

salut
moi j'ai su le faire ! je vais essayer de retrouver

[invitec2174952]

bah si tu y arrives, ça m'aiderait : ça fait 2 soirs que je bloques dessus ...

[invite4ef352d8]

Ok, j'ai pas très envie de me lancer dans la calcule, mais voilà les grande ligne.
déjà il faut voir que vu la résultat demandé, compté les nombres premier dans Pi, ou les puissance de nombres premier c'est pareil (des puissance autre que p^1 de nombre premier <n il y en a pas beaucoup, moins de racine de n ... ) donc ca coute rien de remplacer Pi(x) par la fonction suivante :

Pi2(x) = somme de X(n) pour n<x

ou X(n) est la fonction défini par 1/k si n=p^k, 0 sinon.

la fonction F s'ecrit alors comme comme somme des X(n).ln(n)

il te reste plus qu'à utiliser la formule d'abel pour passer de F à Pi2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec2174952]

merci je vais essayer avec ça !

[invitec2174952]

j'ai essayé...
pour le moment, ça bloque .

pour la définition de pi2(x), il me semble que c'est bon. les puissances de p peuvent être inclus dans le terme reste.

par contre, tu dis que F est la somme des X(n).ln(n) et ça n'a pas l'air d'être le cas.
avec abel, je suis loin d'avoir le bon résultat.

Peut être ai-je mal compris : pourrais tu m'éclairer stp ?

[invitec2174952]

j'ai essayé...
pour le moment, ça bloque .

pour la définition de pi2(x), il me semble que c'est bon. les puissances de p peuvent être inclus dans le terme reste.

par contre, tu dis que F est la somme des X(n).ln(n) et ça n'a pas l'air d'être le cas.
avec abel, je suis loin d'avoir le bon résultat.

Peut être ai-je mal compris : pourrais tu m'éclairer stp ?

bon en faite, après un peu de recherche ok.
Pour F pas de pb : je suis un peu bête !

pour le reste,
tu dis

il faut voir que vu la résultat demandé, compté les nombres premier dans Pi, ou les puissance de nombres premier c'est pareil

pourquoi ? ça rajoute pas mal de terme : sont-ils englobés dans le O ?

j'applique la formule d'abel directement à F.

On a donc F(x) = pi2(x). ln(x) - int(2..x) [ pi2(t)/t ] dt .

après, fo faire apparaitre li(x) ... et là, pas simple de travailler avec pi2(x).

[invite4ef352d8]

C'est parceque tu travaille pas "dans le bon sens"

essai plutot d'ecrire une formule qui donne Pi2(x) = ... des trucs en fonction de F(X) (que tu pourra remplacer par son aproximation un peu partous... ) histoire que Pi2 n'y apparaisse qu'une seul fois.

le Li(x) va apparaitre comme étant (a un O(1) près ) la somme des 1/ln(k) pour k<x

désolé de ne pas t'aider plus, mais ca fais très longtemps que j'ai pas mis les mains dans ce genre de choses et j'ai pas beaucoup de temps pour refaire le calcule en ce moment.

"pourquoi ? ça rajoute pas mal de terme : sont-ils englobés dans le O ?" >>> oui. en gros les nombes de la forme p^2 il y a moins que racine (n), les nombres d ela forme p^3 moins de n^(1/3) etc... il y à un petit calcule à faire dont je ne me rappelle plus trop, mais c'est sensé être completement élémentaire que le terme associé aux puissances de nombres premier est négligeable devant le reste...

[invitec2174952]

ok bah je vais regarder tout ça.