bonsoir,
j'ai un petit exercice sur les endomorphismes,
soit E un plan vectoriel.
si u est un endomorphisme de E de rang 1,
montrer qu'il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de u soit de l'une des formes:
pour qu'il existe une base donnant une matrice de la seconde forme il faut et il suffit que U soit nilpotent
Merci de m'aider à resoudre cet exercice...
Les mathématiques consistent à prouver une chose évidente par des moyens complexes.
C'est étrange puisque la deuxième matrice n'est pas nilpotente puisque c'est un projecteur.
C'est un exo de réduction je pense : le polynôme caractéristique de A est :
P=X^2 - Tr(A)X + det(A) or det(A)=0 donc P=X(X-Tr(A))
On note w un vecteur non nul du noyau, v=(x,y) le vecteur tel que (w,v) base B de E
La matrice A' de u dans B est 1ère ligne : 0 x ; 2ème ligne : 0 y
2 cas :
*Si tr(u)=0, alors u nilpotent et on a la première forme
*si tr(u)<>0, alors u est diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé à racines simples puis cayley hamilton ; d'où la deuxième forme
bonsoir,
Merci beaucoup pour votre réponse...
mais j'ai pas compris le cas tr(u)=0, je vois mal d'ou vient le 1 de la premiere ligne, première colonne,
Merci encore...
Les mathématiques consistent à prouver une chose évidente par des moyens complexes.
salut,
Un endomorphisme diagonalisable ne peut pas être nilpotent, sauf s'il est nul. La seconde question me semble donc douteuse.
effectivement, si on suit ce qu'à fait jeanb555 : puisque u est de rang 1, son noyau est de dimension 1, det(u)=0 et de plus 0 est valeur propre de u. Le polynôme caractéristique de u est bien
Et donc toute matrice de u est semblable à
ou bien à
La trace ne peut pas être nulle, sinon u admet une matrice de représentation nulle et serait identiquement nul, ce qui est exclus puisqu'il est de rang 1.
Et pour qu'il existe une base dans laquelle u soit représenté par la matrice
il faut et il suffit que tr(u)=1. (au passage, utile de se rappeler que la trace est indépendante du choix de la base : si la trace n'est pas égale à 1, il est inutile de chercher à bidouiller quoi que ce soit, ça ne marchera pas !)
bonjour à tous,
juste pour vous rappeler que dans l'exercice s'est écrit que pour avoir la deuxième forme, il faut que u soit nilpotent d'indice 2 c'est à dire
mais j'arrive pas à comprendre, d'un coté le
Les mathématiques consistent à prouver une chose évidente par des moyens complexes.
Bonjour,
Il y a une erreur d'énoncé.
Les deux formes de la matrices sont :
bonjour,
maintenant c'est plus clair,
donc on aura:
si
si
Merci beaucoup pour vos réponses..
Bonne journée à vous
Les mathématiques consistent à prouver une chose évidente par des moyens complexes.
c'est n'importe quoi ce que j'ai écrit. si la tr(u)=0, u n'est pas diagonalisable surtout, mais il est bien nilpotent et il existe une base dans laquelle la matrice est celle donnée par God's Breath. Une telle base n'est pas difficile à construire.Envoyé par StephaneW
Et donc toute matrice de u est semblable à
ou bien à
La trace ne peut pas être nulle, sinon u admet une matrice de représentation nulle et serait identiquement nul, ce qui est exclus puisqu'il est de rang 1.
Oui c'est vrai parfois on écrit des choses sans réfléchir
mais ce n'est pas grave..
Merci encore pour votre aide...
et bonne soirée
Les mathématiques consistent à prouver une chose évidente par des moyens complexes.
