SEV engendré

[Mangoe]

Bonjour,

je viens de commencer le chapitre sur les espaces vectoriels, et nous sommes maintenant en vacances. Et à la rentrée... BAOUM : interro! C'est, pourquoi, en bonne élève que je suis () je m'acharne sur des exercices.
Et en voilà un, qui me semble basique, donc important, et que je n'arrive pourtant pas à faire :

Dans R³, on considère les vecteurs u=(2,3,-1), v=(1,-1,-2), w=(3,7,0) et x=(-5,0,7).
Montrer que vect(u,v) = vect(w,x).

Pour moi, vect(u,v), par exemple, est le plus petit espace vectoriel de R³ contenant u,v ou bien l'intersection de tous les SEV de R³ contenant u,v. (merci le cours).
Je voulais utiliser la première version et partir du principe que peut-être le plus petit EV contenant u et v était le plan définit par ces deux vecteurs. Est-ce juste? Sinon, quelqu'un pourrait-il me guider?
JE dois avouer que cette leçon me paraît particulièrement vague, je n'arrive pas me représenter toutes ces notions...

Merci
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[Seirios]

Bonjour,

Je voulais utiliser la première version et partir du principe que peut-être le plus petit EV contenant u et v était le plan définit par ces deux vecteurs. Est-ce juste?

Tu as (attention, ce n'est pas nécessairement un plan (si les vecteurs sont colinéaires)).

[invite0d584d8e]

Bon ba deja bienvenue en prépa...
Alors tu as 4 vecteurs et tu voudrais montrer que Vect(u,v) = Vect(w,x). Par definition du Vect on a Vect(u,v) = ensemble des combinaision lineaire former a partir de u et de v. A partir de la tu px decomposer un vecteur X qui appartiendrait a Vect(u,v) tu bidouille pour ensuite montrer que ce meme vecteur X s'ecrit aussi en fonction de w et x
Ou bien tu passe par les ensembles en montrant la double inclusion que Vect(u,v) inclu dans Vect(w,x) et que Vect(w,x) inclu dans Vect(u,v)
Quoi comment ca comment on fais?
Soit X un vecteur tq X = Au + Bv = vect(u,v) alors X = A'w + B'x = vect(w,x) car Vect(u,x) inclu dans Vect(w,x) et tu fais l'inverse Vect(w,x) inclu dans Vect(u,v) et comme on a dim(Vect(u,v)) = dim(Vect(w,x)) = 2 si les vecteurs u,v forment une famille libre et w,x forment une famille libre

Voila en esperant t'avoir aidé

[Mangoe]

D'accord... Donc j'ai posé les équations que me donnaient les coordonnées et j'ai pu vérifier qu'elles étaient vraies pour tout (a,b) de R². Parfait! =D

Merci beaucoup, ton aide m'a été précieuse!
Et effectivement, si les vecteurs étaient colinéaires, j'obtiendrais un vecteur, non pas un plan!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mangoe]

Ah! Deuxième méthode !

Je vais essayer, comme ça je deviendrai une championne des espaces engendrés!

Oui, merci, et vive les écoles d'ingé, youpla-boum !

[invite0d584d8e]

Ba ouais Easy

[Mangoe]

Il y a juste deux trois choses qui me taraudent :

• Dire que vect(u,v) = Au + Bv, est-ce que ce n'est pas possible uniquement si u,v est une famille génératrice de R³ ? Et, si oui, comment se fait-ce????

• Est-il vraiment indispensable que u,v soit une famille libre pour que dim(u,v)=2 (de même pour w et x). Pour moi, c'est évident car il n'y a que deux éléments u et v !

• Comment on démontre que vect(w,x) et inclu dans vect(u,v) ???

[Mangoe]

Ah, je crois pouvoir répondre à ma deuxième question :
Il faut que u,v soit une famille libre pour que vect(u,v) soit composé de deux éléments justement. Sinon, ça n'a plus aucun sens !
Enfin, j'espère que c'est juste !

[invite0d584d8e]

Vect(u,v) = Au + Bv est possible par definition meme de Vect
Pour montrer que Vect(w,x) inclu dans Vect(u;v) tu prends un vecteur de Vect(w,x) et tu regarde si tu px l'ecrire en fonction de u et de v

[Mangoe]

D'accord, merci beaucoup !