Dérivées partielles

invite340b7108 · 04/03/2011, 10h17

Bonjour,

Je commence mon UE sur les fonctions de plusieurs variables et je n'ai aucun exercices, juste le cours et 3 devoirs corrigés. Bref, je dois rendre un devoir, et du coup je ne connais pas trop les méthodes pour réaliser ce genre d'exercice. Premièrement, je dois calculer

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , pour $\text{[math]}$

Je trouve $\text{[math]}$

Mais du coup ce n'est pas définie en (0,0), donc comment je peux faire ?

Merci d'avance,

invite899aa2b3 · 04/03/2011, 10h21

En revenant à la définition avec le taux d'accroissement ?

invite340b7108 · 04/03/2011, 10h51

D'accord, donc si je ne me suis pas trompée ça donne :

$\text{[math]}$

Pareil pour y.

**Seirios** · 05/03/2011, 07h35

Bonjour,

Pour les dérivées partielles, utilise \partial plutôt que \delta

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite340b7108 · 14/03/2011, 10h11

Bonjour,

J'aimerais vérifier si mes 2 résolutions sont bonnes :

1°) Je dois déterminer si la fonction $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et 0 si $\text{[math]}$

Je dois donc étudier la continuité au point $\text{[math]}$ . Je passe en coordonnées polaires, ce qui me donne

$\text{[math]}$ ce qui ne converge pas vers 0 quand $\text{[math]}$ converge vers 0, donc la fonction n'est pas continue.

2°) Je dois déterminer si la fonction $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et 0 si $\text{[math]}$

On a $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$

donc si $\text{[math]}$ tend vers 0, $\text{[math]}$ tend vers 0, donc elle est continue.

**NicoEnac** · 14/03/2011, 11h50

Bonjour,

Envoyé par Nidja05

On a $\text{[math]}$

Ceci n'est pas vrai tout le temps. Prenez x = 0.5 et y =0.

Plus simplement, que devient f(x,y) si on suit la parabole y =x² ? Et du coup, quelle est sa limite en (0,0) ?

invite340b7108 · 14/03/2011, 12h18

Si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc la limite en 0 est 1/2. Ca voudrait dire qu'elle n'est pas continue alors ?

invite340b7108 · 15/03/2011, 11h38

Est-ce que mon premier exercice est bon ?

**Seirios** · 16/03/2011, 07h08

Envoyé par Nidja05

Si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ donc la limite en 0 est 1/2. Ca voudrait dire qu'elle n'est pas continue alors ?

C'est bien ça.

Envoyé par Nidja05

Est-ce que mon premier exercice est bon ?

Oui, mais tu pouvais voir que la fonction n'est pas continue en posant x=y.

invite340b7108 · 16/03/2011, 07h19

Ce que je ne comprends pas, c'est que si, pour le 2ème, j'utilise les coordonnées polaires, je trouve $\text{[math]}$ ce qui donne $\text{[math]}$ ce qui tend bien vers 0 quand $\text{[math]}$ tend vers 0, donc elle est continue

**Seirios** · 16/03/2011, 07h29

Il faut faire très attention avec les coordonnées polaires : il faut montrer que l'expression tend vers zéro uniformément en $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que le mieux est de majorer l'expression par quelque chose indépendant de $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 16/03/2011, 07h46

Envoyé par Nidja05

$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et 0 si $\text{[math]}$

On sait que cette fonction est discontinue en (0,0).

Envoyé par Nidja05

$\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et 0 si $\text{[math]}$

Je préfère noter cette fonction $\text{[math]}$ , ce qui permet d'écrire, en utilisant la fonction $\text{[math]}$ de la première question : $\text{[math]}$ , et la conclusion est immédiate.

Si l'on veut faire un raisonnement direct, il ne faut pas passer en polaires, c'est-à-dire définir $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ ,
mais définir de nouvelles coordonnées exotiques $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ .

Il faut bien comprendre que la première fonction est constante sur les droites passant par l'origine, il suffit de calculer $\text{[math]}$ ,
et que la seconde fonction est constante sur les paraboles d'équation $\text{[math]}$ , et de calculer $\text{[math]}$ .

invite340b7108 · 16/03/2011, 15h36

Envoyé par God's Breath

Il faut bien comprendre que la première fonction est constante sur les droites passant par l'origine, il suffit de calculer $\text{[math]}$ ,
et que la seconde fonction est constante sur les paraboles d'équation $\text{[math]}$ , et de calculer $\text{[math]}$ .

Mais qu'est-ce que ça nous dit le fait qu'elle est constante ?

**Seirios** · 17/03/2011, 07h58

Si une fonction est constante sur les droites passant par l'origine et si f(0,0)=0, alors si elle est continue elle doit être identiquement nulle.

invite340b7108 · 17/03/2011, 08h31

D'accord, merci, je ne connaissais pas cette propriété.

**Seirios** · 17/03/2011, 08h37

Ce n'est pas vraiment un propriété (dans le sens où tu ne la trouveras dans aucun cours), c'était plutôt une remarque.

invite340b7108 · 17/03/2011, 08h56

ok ^^

Sinon, j'ai une autre question. Je n'ai aucun exercice sur ce cours, juste un devoir corrigé. Pour montrer qu'une fonction est différentiable au point (0,0,0), dans le devoir ils utilisent toujours la même méthode, ils calculent la limite de

$\text{[math]}$

Est-ce que cette méthode est valable pour nimporte quelle fonction ? Le dénominateur est toujours comme ça, avec une racine et des carrés ?

invite340b7108 · 18/03/2011, 09h40

S'il vous plait ?

**Seirios** · 18/03/2011, 18h47

Pour calculer une différentielle, soit on utilise les formules donnant la différentielle d'une somme, d'un produit, etc., soit on revient à la définition, ce qui revient à déterminer la limite dont tu parles, d'une manière plus ou moins détournée (mais au final cela revient au même).

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