question d'analyse

invite16de2e29 · 06/03/2011, 11h47

Bonjour,

je me pose la question suivante, sans pourvoir y trouver de réponse satisfaisante..
Etant donné un ouvert $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ et une fonction $\text{[math]}$ à valeurs réelles définie sur cette ouvert, alors si $f$ vérifie une certaine propriété (par exemple est $\text{[math]}$ et harmonique) à l'intérieur de toute boule $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ , vérifie-t-elle cette propriété sur tout l'ouvert $\text{[math]}$ ?

Pour moi, c'est évidemment le cas si $\text{[math]}$ vérifie la propriété sur toute boule $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ . Mais lorsque que ces boules doivent être strictement comprises dans l'ouvert, ce n'est plus clair.

Est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de me répondre à ce sujet (et de me donner l'argument qui me manque)?

Merci beaucoup!

**Tiky** · 06/03/2011, 12h11

La question que tu dois te poser est de savoir si la propriété que tu veux avoir sur l'ouvert est locale ou globale. Si elle est locale, il n'y aura aucun problème.

Si $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur toute boule ouverte $\text{[math]}$ , alors elle est clairement $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ . Il suffit de remarquer que $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , il est donc $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ .

Concernant les fonctions harmoniques, je n'ai jamais étudiées cela mais si je me réfère à la page wikipédia suivante : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_harmonique, la réponse est évidemment oui.

invite16de2e29 · 06/03/2011, 12h35

Merci beaucoup pour ta réponse!

En fait, je vois bien ce qui si passe quand tu dis que

Envoyé par Tiky

Si $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur toute boule ouverte $\text{[math]}$ , alors elle est clairement $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ . Il suffit de remarquer que $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ , il est donc $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ .

Mais la question que je me pose porte plutôt sur le fait de savoir si le fait d'être $\text{[math]}$ sur tout l'ouvert toujours vrai lorsque dans ta phrase, on a seulement :
" $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur toute boule ouverte $\text{[math]}$ ..."
plutôt que " $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur toute boule ouverte $\text{[math]}$ ..."

Parce que du coup c'est moins fort, non?

**Tiky** · 06/03/2011, 12h52

Envoyé par ixpl

Merci beaucoup pour ta réponse!

En fait, je vois bien ce qui si passe quand tu dis que

Mais la question que je me pose porte plutôt sur le fait de savoir si le fait d'être $\text{[math]}$ sur tout l'ouvert toujours vrai lorsque dans ta phrase, on a seulement :
" $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur toute boule ouverte $\text{[math]}$ ..."
plutôt que " $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ sur toute boule ouverte $\text{[math]}$ ..."

Parce que du coup c'est moins fort, non?

Cela ne change rien de supposer que les boules sont incluses strictement dans l'ouvert. N'oublie pas la définition d'ouvert dans un espace métrique. J'utilise uniquement cette définition et le fait que la propriété d'être $\text{[math]}$ en un point ne dépend que des valeurs prises par la fonction sur un petit voisinage de ce point et non sur tout l'ouvert.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite16de2e29 · 06/03/2011, 12h55

Ok, ça y est, j'ai compris maintenant....
Merci beaucoup pour ton aide!

**Tiky** · 06/03/2011, 12h55

Tu peux rajouter dans ma démonstration $\text{[math]}$ pour éviter le cas pathologique où $\text{[math]}$ est non seulement un ouvert mais en plus une boule ouverte.

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