Trouver une base du noyaux

invite0d584d8e · 08/03/2011, 18h54

Bonsoir

J'ai un petit blocage j'essaye de trouver une base de ce noyaux:
$\text{[math]}$ Je sais que cest simple mais je ne sais pas comment trouver la base. J'ai isolé un des $\text{[math]}$ par exemple $\text{[math]}$ et le réécrire comme etant $\text{[math]}$ mais apres je sais plus quoi faire

Merci de votre aide

**acx01b** · 09/03/2011, 17h33

tu cherches une base du complémentaire orthogonal au vecteur [1,1,1,1 ..] ?

si la taille est une puissance de 2, tu as celle-ci :
http://en.wikipedia.org/wiki/Haar_wavelet#Haar_matrix

ou là :
http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lect...aar/index.html

invite14e03d2a · 10/03/2011, 09h49

Et si la "taille" (tu voulais dire dimension, non?) n'est pas une puissance de 2, on peut quand même répondre:

1) Quelle est la dimension du noyau ? C'est le noyau d'une forme linéaire donc la réponse est très simple.
2) Je note K ce noyau. Peux-tu trouver facilement dim(K) vecteurs linéairement indépendant dans K?

invite14e03d2a · 10/03/2011, 09h56

Et attention, les vecteurs colonnes d'une matrice de Haar ne sont pas dans le noyau qu'on recherche!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0d584d8e · 10/03/2011, 21h42

En fait ce que j'aimerais c'est pouvoir ecrire les solution de cette equation comme etant un vect. $\text{[math]}$ je ne sais pas quelle forme donner aux $\text{[math]}$

**acx01b** · 10/03/2011, 22h26

oui tu cherches une base du complémentaire orthogonal au vecteur [1,1,1,1 ..]

invite0d584d8e · 10/03/2011, 22h27

Ah purré je suis un abruti fini... L'equation d'un tel noyaux est celle d'un hyperplan donc de dimension n-1 donc chaque ei contient n-1 coordonnées dont seule la coordonnées i est non nulle. Donc E = Vect(e1,e2, ... , en-1)
Je viens de m'en rendre compte

invite14e03d2a · 11/03/2011, 18h56

Envoyé par VenomX

chaque ei contient n-1 coordonnées dont seule la coordonnées i est non nulle.

Ce que tu dis n'est pas très clair. Est-ce que tu veux dire que e₂=(0,1,0) est dans le noyau (pour n=3)?

Si tu ne vois pas comment construire une base, résout l'exercice dans le cas n=2, puis dans le cas n=3. Cela devrait te donner des idées. (Sinon essaye le cas n=4

)

invite0d584d8e · 13/03/2011, 19h10

Ba pour n = 3 on a un noyaux de dimension 2 donc un plan $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$

invite14e03d2a · 13/03/2011, 21h20

Envoyé par VenomX

Ba pour n = 3 on a un noyaux de dimension 2 donc un plan $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$

Mais (1,0,0) et (0,1,0) ne vérifie pas l'équation du plan!!

En écrivant $\text{[math]}$ , cela signifie que, tu peux choisir $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ comme tu veux, et qu'ensuite $\text{[math]}$ est entièrement déterminé par ton choix. Du coup, si tu veux des vecteurs du plan, tu choisis $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ au hasard (mais pas nuls tous les deux), tu calcules le $\text{[math]}$ correspondant, et cela te donne un vecteur u qui est forcément dans ton plan. Tu recommences jusqu'à obtenir un vecteur v du plan qui ne soit pas colinéaire à u.

invite0d584d8e · 15/03/2011, 13h51

ba si je prends $\text{[math]}$ ca marche non ? Franchement j'pensais avoir compris mais la je doute

invite986312212 · 15/03/2011, 14h32

bonjour,

si tu as déjà e1 et e2 comme générateurs, ça ne sert à rien d'ajouter e1+e2.

invite14e03d2a · 16/03/2011, 15h31

Envoyé par VenomX

ba si je prends $\text{[math]}$ ca marche non ? Franchement j'pensais avoir compris mais la je doute

Qu'appelles-tu e₁ et e₂? Des vecteurs de la base canoniques de $\text{[math]}$ ? Autre chose?

invite2b608ad1 · 18/03/2011, 21h25

On a :
$\text{[math]}$
donc
$\text{[math]}$
donc
$\text{[math]}$

**acx01b** · 19/03/2011, 06h26

ok, mais la question qu'on se pose en plus c'est de trouver une base orthonormale, ce qui n'est pas le cas de la tienne

comme je l'avais indiqué, pour n = 2^k on peut prendre la base de Haar, mais sinon ... ?

**acx01b** · 19/03/2011, 06h51

prenons $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

- la base de Haar pour $\text{[math]}$ , suivie de $\text{[math]}$ zéros: $\text{[math]}$

- pour $\text{[math]}$ , précédée de $\text{[math]}$ zéros et suivie de $\text{[math]}$ zéro :
$\text{[math]}$

- pour $\text{[math]}$ , précédée de $\text{[math]}$ zéros :
$\text{[math]}$

on met tout ça ensemble : $\text{[math]}$

ça nous donne une base orthogonale de dimension $\text{[math]}$ .
On prend tous les vecteurs qui n'ont que des $\text{[math]}$ et des $\text{[math]}$ (première ligne de chaque base de Haar) :
$\text{[math]}$

et on refait le travail en remarquant que ces trois vecteurs peuvent être vus comme la base canonique de l'E.V de dimension $\text{[math]}$ où on a juste recopié des coordonnées.

$\text{[math]}$ , on prend les bases de Haar et on a :
$\text{[math]}$

on prend les vecteurs qui n'ont que des $\text{[math]}$ et des $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ et on refait le travail en remarquant que ces deux vecteurs peuvent être vus comme la base canonique de l'E.V de dimension $\text{[math]}$ où on a juste recopié des coordonnées. $\text{[math]}$ est une puissance de $\text{[math]}$ , on prend la base de Haar : $\text{[math]}$

Et donc finalement la base trouvée est :
$\text{[math]}$
qui est par construction orthogonale

invite0a963149 · 19/03/2011, 09h20

Sinon, si tu as déjà fait les matrices, enfin même si tu les as pas faite tu pourras surement comprendre :

tu as un systeme de 1 équation a n inconnues, ton système va donc se traduire avec une matrice carrée nxn avec que des 1 sur la premiere ligne et que des 0 sur les autres, on va l'appeler A.
tu cherches une matrice colonne X=transposée(x1,x2,...xn) (la transposée c'est juste que sur le forum je ne peux pas écrire en colonne)

si tu fais le produit AX, tu retrouves bien ta somme, et maintenant, très géométriquement (je te donnes cette technique parce que je trouve ça plus simple, alors peut etre que pour toi ça le sera aussi) tu peux voir les matrice X telles que AX=colonne nulle c'est a dire (-1,1,0...0),(-1,0,1,0,...,0) ainsi dessuis jusqu'a (-1,0,...,0,1), si tu comptes tu as n-1 vecteur, et j'affirme que tu peux en trouver un paquet d'autres, mais ils seront tous combinaison linéaire des miens !

Ensuite la famille de mes vecteurs du ker est bien libre a cause de la place des 0, et de cardinal (n-1) c'est donc une base du ker.

ton ker est bien de dimension n-1 parce que la matrice est de rang 1 (une seule colonne non nulle => rang 1) et le théoreme du rang donne direction dim(ker)

sinon si tu veux parler en terme de systeme (pour le rang) tu as 1 équation pour n inconnue ==> rang = 1, si tu en as deux, c'est un peu plus compliqué parce qu'il te faudra regarder si la premiere équation n'est pas une obtenue avec la premiere par multiplication par un scalaire.

bref tu trouves bien vect( (-1,1,0...0),(-1,0,1,0,...,0),...,(-1,0,...,0,1))

invite0a963149 · 19/03/2011, 09h26

Envoyé par acx01b

Et donc finalement la base trouvée est :
$\text{[math]}$
qui est par construction orthogonale

Mais malheureusement c'est n'est pas une base ton machin, vérifie tes vecteur, alors que la base (-1,1,0,...,0) etc ... est bien orthogonale et il suffit de diviser chaque vecteur par rac(2) pour la normaliser ...

**acx01b** · 19/03/2011, 11h14

Envoyé par blablatitude

Mais malheureusement c'est n'est pas une base ton machin, vérifie tes vecteur

oui j'ai oublié de diviser par le nombre de composantes qui sont recopiées

on obtient (vecteurs non normalisés) pour $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

soyez indulgent, ma base fonctionne mais il n'est pas évident de la décrire autrement que par l'exemple

Envoyé par blablatitude

alors que la base (-1,1,0,...,0) etc ... est bien orthogonale et il suffit de diviser chaque vecteur par rac(2) pour la normaliser ...

non elle n'est pas orthogonale, fais les produits scalaires entre les vecteurs $\text{[math]}$ ils ne sont pas nuls pour $\text{[math]}$

invite14e03d2a · 19/03/2011, 17h30

Envoyé par acx01b

oui j'ai oublié de diviser par le nombre de composantes qui sont recopiées

on obtient (vecteurs non normalisés) pour $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

soyez indulgent, ma base fonctionne mais il n'est pas évident de la décrire autrement que par l'exemple

non elle n'est pas orthogonale, fais les produits scalaires entre les vecteurs $\text{[math]}$ ils ne sont pas nuls pour $\text{[math]}$

Bonjour,

a priori l'auteur initial du sujet demandé uniquement une base du noyau sans exiger l'orthogonalité ou l'orthonormalité. Donc la réponse d'Adrien.kd est bonne (enfinpas tout à fait, ce qui est montré est que la famille est génératrice; il faudrait préciser que c'est une base en montrant qu'elle est libre).

De plus, où apparaît la base du noyau dans la matrice $\text{[math]}$ ? Est-ce que ce sont les vecteurs colonnes? ou les vecteurs lignes? Dans les deux cas, il y a un souci puisque ni la 1ere colonne ni la 6eme ligne ne représente des vecteurs du noyau.

Cordialement.

invite0a963149 · 19/03/2011, 18h13

Envoyé par acx01b

,on elle n'est pas orthogonale, fais les produits scalaires entre les vecteurs $\text{[math]}$ ils ne sont pas nuls pour $\text{[math]}$

Oui effectivement je me suis vautré ...

**acx01b** · 19/03/2011, 19h20

Envoyé par taladris

De plus, où apparaît la base du noyau dans la matrice $\text{[math]}$ ? Est-ce que ce sont les vecteurs colonnes? ou les vecteurs lignes? Dans les deux cas, il y a un souci puisque ni la 1ere colonne ni la 6eme ligne ne représente des vecteurs du noyau.

Cordialement.

$\text{[math]}$ c'est une matrice orthogonale de $\text{[math]}$ dont l'une des lignes ne contient que des 1, qu'est-ce qu'il vous faut de plus ?

invite0a963149 · 19/03/2011, 19h26

Envoyé par taladris

ni la 1ere colonne ni la 6eme ligne ne représente des vecteurs du noyau

Mince j'aurais pourtant juré que 1+1-1-1=0

et la sixième ligne ne marche pas, ça tombe bien, on ne lui demande pas de marcher, le ker est de dimension 6 dans son cas, mais il a complété

Bref sinon on prend la mienne et on l'orthonormalise (Gram Shimdt récurrent, j'ai jamais essayé de faire un truc comme ça, ça pourrait être rigolo)

**acx01b** · 19/03/2011, 19h37

Envoyé par blablatitude

Bref sinon on prend la mienne et on l'orthonormalise (Gram Shimdt récurrent, j'ai jamais essayé de faire un truc comme ça, ça pourrait être rigolo)

bonne chance pour trouver une formule explicite des vecteurs obtenus

j'ai regardé le résultat pour $\text{[math]}$ c'est bizarre

invite14e03d2a · 19/03/2011, 19h38

Envoyé par acx01b

$\text{[math]}$ c'est une matrice orthogonale de $\text{[math]}$ dont l'une des lignes ne contient que des 1, qu'est-ce qu'il vous faut de plus ?

OK, ce sont les vecteurs lignes qui forment une base.

Par contre, matrice orthogonale=les vecteurs (lignes ou colonnes peu importe) forment une base orthonormée.

invite0a963149 · 19/03/2011, 20h10

d'ailleurs petite question perso, ta ligne de 1 tu peux pas la remplacer par une ligne de 0 et la mettre tout au fond ?

invite2b608ad1 · 20/03/2011, 11h54

Envoyé par taladris

Bonjour,
a priori l'auteur initial du sujet demandé uniquement une base du noyau sans exiger l'orthogonalité ou l'orthonormalité. Donc la réponse d'Adrien.kd est bonne (enfinpas tout à fait, ce qui est montré est que la famille est génératrice; il faudrait préciser que c'est une base en montrant qu'elle est libre).

Elle est génératrice et maximale donc c'est une base.

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