Nombre de succès fixé à l'avance ! (probabilité)

[ichigo01]

Bonjour tout le monde !

Je bloque sur un exercice, j'ai besoin seulement de petites indications.

On effectue des essais indépendants de succès égale à p (0<p<1), jusqu'à obtenir un nombre de succès m fixé à l'avance. Soit X le nombre aléatoire d'essais nécessaires.

1) Déterminer la loi de probabilité.
2) Montrer que et

J'ai commencé par prendre m = 3 par exemple, je ne sais pas si X doit être car on doit faire au moins 3 essais si on espère avoir 3 succès ? !

Est ce que je Calcule et ?

Merci d'avance !
-----

[ichigo01]

Autre question: X suit quelle loi si on fixe un nombre de succès à atteindre avant de s'arrêter ? !

Edit: Est ce bien la loi binomiale négative ?

[ichigo01]

Voilà à quoi je suis arrivé :

X prend les valeurs donc si on pose : on aura une loi de probabilité Y qui prend les valeurs :

Donc :
(On peut déduire cette égalité en prenant des valeur de m et X)

Est ce que c'est juste ?

Si oui j'ai des problèmes pour calculer espérance donné dans la 2ème question, je n'arrive pas à calculer la somme !!