Matrice isometrique

[invite6244b2ba]

Bonjour,

Je ne me rappelle plus quelle est la definition et quelles sont les proprietes d'une matrice isometrique ops:

Merci pour votre aide
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[inviteab2b41c6]

Ce ne sont pas des matrices orthogonales?

[inviteeecca5b6]

Puis-je dire une bétise ?
C'est la matrice d'une isométrie alors det = 1

[inviteab2b41c6]

Mais un demi tour est une isométrie, et de déterminant -1 si j'ai bonne mémoire...

Je ne suis pas sur de ce que j'avance, mais je pense qu'une matrice M isométrique est caracterisée par:

M^-1=^tM

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeecca5b6]

c'est peut-etre vrai, je sais plus si c'est det = 1 ou |det| = 1

[inviteab2b41c6]

|det(A)|=1

En fait c'est facile de voir celà, en effet une matrice M de Mn(R) est orthogonale si et seulement si
M^-1=^TM

Donc si et seulement si
M^TM=I_n

or qqsoit M dans Mn(K)
det(M)=det(^TM)
donc on a
det(M)²=1 et donc det(M)=+ou-1 et donc |det(M)|=1

[invitea29d1598]

et pour l'interprétation géométrique, tu peux montrer que cette matrice correspond à une transformation de ton espace vectoriel qui laisse les figures "invariantes" dans le sens où elle conserve les angles et les distances (mais elle peut inverser l'orientation du plan si le déterminant de la matrice qui la représente est négatif).

[inviteeecca5b6]

isometrie = conseravtion des distances, pas des angles

[inviteab2b41c6]

Enfin d'un autre coté, la conservation des distances entrainant celle des angles ...

[inviteeecca5b6]

ben pas des angles orientés

[inviteab2b41c6]

Oui, si det(M)=-1

[invitea29d1598]

ben pas des angles orientés

j'ai jamais dit que les angles orientés étaient conservés

mais, ok, j'aurais dû dire: "conserve le produit scalaire associé à la métrique"... mais bon...

pis en plus, si tu parles d'isométries sur une variété, les angles orientés n'existent pas toujours (si la variété n'est pas orientable, type surface de Moebius ou bouteille de Klein), donc il est un peu évident que ce n'est pas conservé, non?

[inviteb865367f]

ben pas des angles orientés

mais, ok, j'aurais dû dire: "conserve le produit scalaire associé à la métrique"... mais bon..

Oui t'aurrais du Au moins ca prend en compte tous les cas et c'est la définition d'ailleur :
Une application affine est une isométrie si et seulement si l'application linéaire est orthogonale, c'est-à-dire conserve le produit scalaire.

Apres pour le reste, ca dépend.