suites

[invite81b3833e]

bonjour,

voici une question de pb que je n'arrive pas à traiter.
au départ on définit la suite u(n+1)=[u(n)]²-u(n)

j'ai fait tte une étude sur la suite
puis on pose v(n)=u(2n) et w(n)=u(2n+1)
on étudie ces suites etc....
puis ça se corse
on suppose que a ets un réel strictement postif
et que u(o) appartient à [0; 1/2]

montrer que [v(n+1)]^a-[v(n)]^a~-2a[v(n)]^(a+2)

1a j'ai calculé la limite de v(n+1)^a-v(n)^a -(-2av(n)^(a+2) et j'ai trouvé que la limite était 0. le truc c'est que l'autre fois, en faiti un exo du même style le prof a dit que ce n'etait pas un on argument le fait que la limite tend vers0. il a dit ce n'est pas parce que lim de u(n)-v(n) tend vers 0 que v(n)~u(n) par exmple. donc je ne sais pas quoi faire quand à la suite je 'nai eu aucune idée.

cmt je pourrai faire?
ps : désolée pour les notations peu pratiques
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[invite32bb90e8]

C'est pas la différence, mais le rapport qu'il faut faire !
u~v et v non nulle pour n assez grand <=> u/v -> 0

Par contre, u-v -> 0 n'implique pas u~v !!!!
En effet, un petit contre exemple :
u=1/n et v=1/n² : u-v -> 0 mais u/v~n


Pour ton exo, je commencerai par traffiquer l'expression de gauche en utilisant plusieurs fois la relation de récurrence, pour essayer d'arriver à une expression dont le DL (tu connais les Développement Limités au fait ? Sinon oublie, on voit ça après) est proche de l'expression de droite.

Hope this helps,
Marc

[invite32bb90e8]

Zut, avec ma méthode, je trouve que le truc de gauche est équivalent à -2.a.[v(n)]^(3-a) , alors que la puissance devrait être selon l'énoncé "a+2"
Bref, l'idée est là, mais j'ai du merder le calcul ...

Au fait, aurais-tu prouvé par hasard que v(n)->0 , ou quelque chose dans le genre ??

Marc

[invite81b3833e]

oui j'ai effectivement prouvé dans les question précédentes que v(n) tend vers 0. je vais essayer de le faire par quotients voir si ça marche mais j'av essayé et je n'arrivais pas à simplifier les calculs. je conais les développements mais je ne suis pas tt à fait à l'aise avec donc la plupart du tps, je n'arrive pas à voir quand il faut les utiliser

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite32bb90e8]

Quand je disais qu'il faut faire le quotient, je ne voulais pas dire que c'est par là qu'il faut commencer. C'était juste pour te faire comprendre la définition de 2 suites équivalentes.

Pour le DL :
Tu prends le membre de gauche, et tu calcules que c'est égal à [v(n)^4-2v(n)^3+v(n)]^a - [v(n)]^a
Donc aussi à v(n)^a.[1-2v(n)^2+v(n)^3]^a - [v(n)]^a
Tu utilises le DL de (1+x)^a au 1er ordre :
[1-2v(n)^2+v(n)^3]^a = 1+a.(-2v(n)^2+v(n)^3)+o(-2v(n)^2+v(n)^3) = 1-2a.v(n)^2+o(v(n)^2)

D'où :
v(n)^a.[1-2v(n)^2+v(n)^3]^a - [v(n)]^a = v(n)^a.[1-2a.v(n)^2+o(v(n)^2)] - [v(n)]^a
~ [v(n)]^a.(-2a.v(n)^2)
~ -2a.[v(n)]^(a+2) OK
En fait ça marche (c'est juste que hier j'avais pas bien écrit les calculs) !

Voilà, donc si je résume : tu pars de gauche, tu exprime tout en fonction de v(n). Comme v(n) -> 0, tu fais un DL de ce qui est compliqué. Là il faut voir que o(-2v(n)^2+v(n)^3) = o(v(n)^2) car v(n)^3 = o(v(n)^2), et puis ça se simplifie comme par magie !
Rqe : ce genre de calculs c'est très important de s'entraîner à les faire et les refaire. Moi j'avais un peu tendance pdt les corrections d'exos à laisser bosser le prof et à le croire sur parole. En fait c'est de l'entraînement, donc faut s'y coller :-/

Marc