Nouveau grand nombre premier

[JPL]

Dans l'actualité de ce jour je lis, à propos de la découverte du plus grand nombre premier connu :

Celui-ci, auquel ont permis d'aboutir les calculs de quelque 210 000 ordinateurs mis à contribution à travers le monde, est même encore un plus spécial puisqu'il s'agit d'un nombre premier dit de Mersenne, du nom d'un mathématicien français du XVIIe siècle. Ce type de nombre, très rare, s'exprime sous la forme 2 puissance p moins 1, avec p également nombre premier.

Bien que je ne sois pas du tout mathématicien, ce n'est pas une surprise que ce nombre soit un nombre premier de Mersenne, tout simplement parce que le programme auquel chacun peut participer ne recherche à mon souvenir que les nombres premiers de Mersenne parce qu'ils sont plus faciles à touver.
Mais comme je ne me souviens plus du tout pourquoi, ni comment on les recherche, si quelqu'un bon en math pouvait me rafraîchir la mémoire, je lui en serais très reconnaissant.

Merci.
-----

[Aether]

Bonjour,

Pour une petite explication :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne.

[inviteb865367f]

http://www.mersenne.org/math.htm


In dealing with Mersenne numbers, it is easy to prove that if 2P-1 is prime, then P must be a prime.

The Lucas-Lehmer primality test is remarkably simple. It states that for P > 2, 2P-1 is prime if and only if Sp-2 is zero in this sequence: S0 = 4, SN = (SN-12 - 2) mod (2P-1).


ect ...

[olle]

coucou,

sinon ça sert à qqchose ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb865367f]

Heuu ... pour un nombre aussi grand non

[Antikhippe]

lut,

on peut tester la puissance des ordis comme avec le nombre pi.

[inviteb865367f]

Humm bof .. super Pi c'est pratique parce qu'il existe un algo qui permet de calculer n décimale de Pi. Apres il suffit de voir en combien de secodes le calcul est fait.
Mais la c'set pas des secondes mais des temps beaucoup plus long, donc pour tester la puissance d'un ordi ... :?

[olle]

c'était en effet le sens de ma remarque.
passer je ne sais combien de temps à monopoliser des centaines de miliers de processeurs pour calculer un nombre premier... c'est... inutile ?

je pense que ya beaucoup plus intéressant à faire avec. stou

[JPL]

sinon ça sert à qqchose ?

The Electronic Frontier Foundation is offering a $100,000 award to the first person or group to discover a ten million digit prime number. If you find such a prime with the software provided, GIMPS will claim the award and distribute the award according to the following rules.

Mais il y a toute une série de conditions... voir
http://www.mersenne.org/prize.htm

[Evil.Saien]

ca sert à rien, c'est juste pour la beauté des maths

[invite59dfa2df]

c peut etre un peu hors sujet mais en parlant de nombre premier, g vu un exos dans mon bouquin de maths :
2^86243 - 1 est un nombre premier
combien de chiffres son écriture décimale possede -t-elle?
ce ke jvoudré savoir:
1) comment a-t-on trouvé ke ce nombre était premier???
2) a koi elle sert ct information? ( g résolu le pb sans utiliser le fait que c un nombre premier).
jcroyé ke ct le plus grand nbr premier kon ait trouvé mais apparemment c pas cela.

Avril

[inviteb0cf188d]

Bonjour,

Un nouveau nombre premier de Mersenne a été trouvé récemment (mai 2004). Voir : http://www.mersenne.org/
On pense que c'est le 41ème et on l'appelle donc M41.

A quoi sert de chercher de tels nombres ?
Plusieurs raisons :
1) Bien sûr vérifier le fonctionnement des ordinateurs et de leurs programmes. Par exemple avec M41, j'ai trouvé un bug dans le compilateur icc d'Intel sur Linux (toujours pas corrigé ...). J'ai également trouvé que le programme parallélisé (avec des threads POSIX) qui a été utilisé était buggé : la gestion des threads ne respectait pas la norme POSIX. Et enfin, la librairie NPTL fournissant les threads elle-même avait un bug et se bloquait dans certains cas.
2) Mais aussi à développer de nouveaux algorithmes de calcul des multiplications sur des grands nombres, telle la FFT.
3) Surtout : le fun : comme vaincre un sommet jusque là invaincu (les dangers en moins et avec l'espoir quasi-certain qu'après celui-là il y en aura un autre), et (pendant un temps limité) être celui qui a trouvé le plus grand nombre premier ... ou faire partie de ceux qui y ont contribué.
4) Les nombres de Mersenne sont aussi utilisés pour la génération de nombres aléatoires.

Surtout, les nombres de Mersenne sont liés à l'histoire :
1) Fermat a prédit (avec des erreurs) la primalité de certains des nombres de Mersenne.
2) Prouver qu'un nombre N est premier autrement qu'en le divisant avec tous les nombres premiers plus petits que a commencé avec les nombres de Fermat et les nombres de Mersenne.
Et c'est un Français (Edouard Lucas) qui le premier au 19ème siècle a trouvé le moyen d'une telle preuve.
D'ailleurs cette preuve est fascinante. Comme il est expliqué plus haut, il suffit de faire une opération très simple : est premier ssi
Mais la démonstration (assez difficile) prend 20-30 pages ...
Cette technique a été (et est encore) utilisée pour prouver la primalité d'autres types de nombres, bien que de nouvelles techniques soient apparues au XXème siècle.

Quand au nombres de processeurs nécessaires, il ne faut pas confondre le nombre de processeurs nécessaires pour trouver un nombre de Mersenne premier (parmi tous les autres) avec le temps nécessaire pour prouver sa primalité (2,5 jours avec une machine ia64 1.3 GHz à 8 processeurs).

Pour les nombres de Fermat : , il faudra environ 3 ans de calcul avec une machine mono-processeur puissante pour savoir si le prochain candidat (F33 ?) est premier ou non.

Pour compléter, lire le livre de Paulo Ribenboim : Little book for Bigger Primes (2004) (en Anglais, 42-52 Euros) ou le livre de HC Williams : Édouard Lucas and Primality Testing (en anglais et un peu cher .... 92 Euros). Tous 2 sont très bien.
Le 2ème livre est TRèS intéressant car on découvre que tout ce qui est dit dans les autres livres de Théorie des Nombres sur cette méthode de preuvre de primalité n'est souvent qu'une simplification/réduction de ses possibilités : comme cette méthode n'est presque utilisée que pour les nombres de Mersenne, les auteurs trop souvent ne fournissent que la preuve minimale pour les nombres de Mersenne, en ommettant toute une théorie qui pourrait inspirer d'autres personnes.

Tony

[invitedebe236f]

2^86243 - 1 = exp(log(2)*86243)-1 en base 10 et non pas e

donc il a log(2)*86243 +1 chiffre soit 25962 ce qui est plutot petit

les nombres premier servent dans les cle de codage
on choisit 2 nombre premier qu on multiplie ca devient la cle
il est tres long a trouver les 2 nombre premier qui la constitue si on les connais pas
ca c etait dans le temps maintenant il y a de nouveau algo pour les trouver

[doryphore]

En 1994, on n'avait pas trouvé de nombres de Fermat premier.
ESt-ce que c'est fait ou bien a-t-on démontré que les nombres de Fermat sont tous premiers ou bien ni l'un ni l'autre ?
A-t-on des nouvelles des nombres parfaits impairs ?

[inviteb0cf188d]

On connaît le statut (premier, composite) de tous les nombres de Fermat Fn jusqu'à n=32 . F0, F1, F2, F3, F4 sont tous premiers. F5 jusqu'à F32 sont tous composites, mais on ne connaît pas la factorisation de tous.
Maintenant, F33 (2.58 milliards de chiffres ...) et le prochain sur la liste, et il va falloir attendre un moment avant de savoir s'il est premier ou pas !
Non, on n'a aucune théorie sur la primalité des nombres de Fermat. La seule solution consiste à utiliser le test de Pepin :

Quant aux nombres parfaits impairs, je crois me souvenir qu'une limite inférieure (un très grand nombres ...) a été demontrée, sans preuve de leur existence.

Tony

[doryphore]

Je fais profiter de ce qu'on savait en 94 sur les nombres parfaits impairs:

S'il en existe un, il a au moins 300 chiffres décimaux, au moins 8 facteurs premiers distincts et son plus grand facteur premier est supérieur à 100110.

[leg]

il n'existe pas de nombre parfait impair , ce sont les même que les nombre parfait pair plus 1 ou moins 1 . 27 + 1 par exmple le total des diviseurs à lexeption de 1 est 27 = 27 "nombre parfait impair"; alors que 28 = parfait pair est le total de ses diviseurs + 1 mais sans 28 donc 1 n'est pas considéré un diviseur c'est un emsemble vide sans facteur! la question devient est-ce 27 qui est parfait impair ou 28 qui est parfait pair si à aucun des deux on ajoute 1 ?voila pourquoi on en a jamais trouvé ils ne font qu'un du moins c'est mon opignon ....amicalement leg

[invite6d8e4836]

il n'existe pas de nombre parfait impair , ce sont les même que les nombre parfait pair plus 1 ou moins 1 . 27 + 1 par exmple le total des diviseurs à lexeption de 1 est 27 = 27 "nombre parfait impair"; alors que 28 = parfait pair est le total de ses diviseurs + 1 mais sans 28 donc 1 n'est pas considéré un diviseur c'est un emsemble vide sans facteur! la question devient est-ce 27 qui est parfait impair ou 28 qui est parfait pair si à aucun des deux on ajoute 1 ?voila pourquoi on en a jamais trouvé ils ne font qu'un du moins c'est mon opignon ....amicalement leg

Bonjour,

Je n'ai pas compris ce que vous voulez dire. Les nombres parfaits sont définis de manière très stricte: il doivent être la somme de tous leurs diviseurs stricts, la valeur 1 incluse, par définition. Ainsi 28 est il parfait et 7 ne l'est pas.
Je crois comprendre que vous changez la définition.
Où me trompé-je?

Bien amicalement

JM

[leg]

bonjours JM , c'est exact je considère la définition comme inéxacte si un nombre parfait pair est la somme de tous ses diviseurs plus 1 cela est une convention, mais pas une vérité absolue, car dans ce cas si 1 est un diviseur, 28 en est un aussi pour cet exemple ; donc la somme des diviseurs pour le cas 28 = 27 auquel on rajoute ensuite 1 pour faire 28, dans le cas de 27 je rajoute 1 d'abord puis je fais la somme des diviseurs = 27 on aurait donc par convention le même résultat... les nombres parfaits impairs existent mais pas les parfaits pairs; étant donné le théorème de l'arithmétique par convention 1 est un ensemble vide sans facteur, si on ne le considère pas comme un diviseur alors est-ce les parfaits p ou les parfaits i qui existent ? je pense qu'à l'époque c'était mythique , mais cela est peut être pour cette raison qu'on n'en trouvera jamais .. amicalement leg

[invitedebe236f]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait

particularite tous nombres parfait trouve se termine par 6 ou 8
mais on n a pas demontrer qu ils sont tous comme ca

nombre parfait = somme de ces diviseurs

si on prend lui meme comme diviseur alors seul les nb premiers sont parfait et dans ce cas 1 n est pas diviseur (c est pas la solution retenu pas amusant )

donc 6 = 1 +2 +3
28 = 1 +2 +4 +7 +14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
apres ma tete explose si j ai pas fait d erreur
8191*4096
131071*65536
524287*262144
2147483647*1073741824

[invite6d8e4836]

La définition des nombres parfaits est sans ambiguité, et l'on parle des diviseurs stricts (donc le nombre est exclu, d'ailleurs pour des raisons évidentes) et ceux ci incluent le nombre 1, par définition.
Le problème des nombres parfaits impairs est bien posé et sans ambiguité. Si l'on change la définition, on change le problème. Personnellement, ce qui m'intéresse, c'est la réponse problème "standard"/

J'ai une dernière question:

Que veut dire ce qui suit? Ce n'est pas tout à fait non plus dans la terminologie si je puis dire. Un nombre n'est pas un ensemble (vide de surcroît). Qu'est pour vous le théorème de l'arithmétique?

étant donné le théorème de l'arithmétique par convention 1 est un ensemble vide sans facteur,

Merci et à bientôt

JM

[leg]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait

particularite tous nombres parfait trouve se termine par 6 ou 8
mais on n a pas demontrer qu ils sont tous comme ca

nombre parfait = somme de ces diviseurs

si on prend lui meme comme diviseur alors seul les nb premiers sont parfait et dans ce cas 1 n est pas diviseur (c est pas la solution retenu pas amusant )

donc 6 = 1 +2 +3
28 = 1 +2 +4 +7 +14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
apres ma tete explose si j ai pas fait d erreur
8191*4096
131071*65536
524287*262144
2147483647*1073741824

et en plus ils sont congrues 1 modulo 9 et effectivement les nombres premiers sont parfaits mais ce n'est pas mityque

[leg]

La définition des nombres parfaits est sans ambiguité, et l'on parle des diviseurs stricts (donc le nombre est exclu, d'ailleurs pour des raisons évidentes) et ceux ci incluent le nombre 1, par définition.
Le problème des nombres parfaits impairs est bien posé et sans ambiguité. Si l'on change la définition, on change le problème. Personnellement, ce qui m'intéresse, c'est la réponse problème "standard"/

J'ai une dernière question:

Que veut dire ce qui suit? Ce n'est pas tout à fait non plus dans la terminologie si je puis dire. Un nombre n'est pas un ensemble (vide de surcroît). Qu'est pour vous le théorème de l'arithmétique?

étant donné le théorème de l'arithmétique par convention 1 est un ensemble vide sans facteur,

Merci et à bientôt

JM

bonjour J.M, c'est exact ce que tu dits ,ce que je cherche est une explication : on n'en a jamais trouvé alors: la définition est elle une vérité démontrée? on dit que ces nombres sont parfaits, trés bien, on les trouve par une formule ce qui est tres bien mais ce qui les caractérises c'est bien le 1 que l'on rajoute, 1 n'est ni un nombre premier ni un composé il ne donne aucune indication sur la divisibilité 28/1 = 28 ou tout simplement 28 est la somme de deux premiers ou encore 28 = 28 sans faire de division voila pourquoi je pose ces questions, j'ajoute 1 avant de faire la division puis je fait la somme des diviseurs , ou je fait la division puis j'ajoute la somme des diviseur + 1, je fait remarquer :comme un nombre premier se divise uniquement par lui même est par 1, si 28 n'est pas un diviseur de lui même pour quel raison 1 serait diviseur? alors je pense que cette particularité pourrait être une explication afin de comprendre l'absence de parfaits impairs qui ne feraient qu'un avec les parfaits pairs du fait justement de cette définition..amicalement leg.

[leg]

re jean mari : au sujet du nombre 1, dans le théorème de l'arithmétique c'est pourtant bien comme cela qu'il est défini ce n'est pas moi qui l'ait écrit, ce nest pas ensemble mais produit "vide" sans facteur alors qu'un nombre premier peut être considéré comme un produit réduit à un facteur..

[doryphore]

Que veut dire ce qui suit? Ce n'est pas tout à fait non plus dans la terminologie si je puis dire. Un nombre n'est pas un ensemble (vide de surcroît).

A une époque relativement récente par rapport à l'histoire des mathématiques, des mathématiciens ont essayé de tout axiomatiser et de construire l'ensemble des mathématiques à l'aide de la théorie des ensembles.
Dans cette théorie, on identifie 0 (ou 1, ça dépend de la mode) à l'ensemble vide.
"On dit que 0 est l'ensemble vide".
Cet ensemble vide existe (c'est un des axiomes de la théorie qui le précise.
A partir d'autres axiomes "extensionalité et un autre, je crois", on construit d'autres ensembles qui contiennent ceux précédemment créés.
"On crée un ensemble dont un élément est l'ensemble vide".
On a ainsi une chaîne d'inclusion qui sera identifiée à la chaîne:
0<1<2<3<4<5...

Il ne faut pas perdre de vue que les mathématiques sont une construction abstraite: si ça marche bien d'identifier les nombres et les ensembles, on le fait... On ne se pose pas a priori de pb de sens.

Si tu veux d'autres précisions ou que j'éclaire ou approfondisse un point, n'hésite pas...

[invite6d8e4836]

Bonjour,

0 est le cardinal de l'ensemble vide, 1 est le cardinal de l'ensemble contenant l'ensemble vide etc...
mais 0 n'est pas, de mon point de vue, l'ensemble vide stricto sensu.
Cette construction que vous citez est légitime est nécessaire mais elle ne permet pas de traiter les problèmes d'arithmétique. Tant pis, ce n'est pas de notre faute.
Je trouve votre remarque très intéressante car elle me rappelle le dernier livre de Stella Baruk (on pourrait en parler sur un autre fil), que j'ai commencé à feuilleter. Elle rapporte que l'on a demandé à des enseignants ce qu'était un nombre. Ils ont répondu quelque chose du style "ça sert à mesurer des quantités", en grande majorité, ce qu'elle critique. En y réfléchissant je crois qu'elle a raison: on ne sait pas bien ce que c'est. Par contre on sait les construire rigoureusement (ce n'est pas de l'ironie).


Mais, pour revenir au sujet, ma question était (voir le texte complet) que je ne saisissais pas l'expression "par convention 1 est un ensemble vide sans facteur" (il y a bien le mot facteur) et je me la posais car je pensais que la discussion autour des nombres parfaits était mal posée car jouant sur des définitions, alors que c'est un problème bien posé.
Peut être l'expression veut elle dire que "1 n'a pas de facteurs premiers", ce qui est tout à fait exact car 1 n'est pas premier si ma mémoire est bonne.
Bien amicalement
JM

[doryphore]

Oui, c'est sûr que tous les enseignants ne se souviennent pas des constructions des nombres.

Voilà, comment je définirais un nombre entier naturel pour que ça se rattache à notre univers physique.

J'ai 2 boîtes avec des objets dedans, je sors un objet de chaque boîte simultanément et je répète l'opération tant qu'il reste des objets.
L'algorithme se finit puisque qu'il y a un nombre fini de objets.

Quand il n'y a plus d'objets dans une boîte, soit l'autre est vide aussi et les deux collections d'objets sont équivalentes, soit elle n'est pas vide et les deux collections d'objets ne sont pas équivalentes.
On crée ainsi une relation d'équivalence basée sur le comptage.

On peut bien entendu comparer les quantités par d'autres moyens de comptage similaire.

Un nombre est une des classes d'équivalence.

Evidemment, on perd tout sens opératoire et toute relation d'ordre mais au moins on retrouve l'intuition première du nombre.

Celà dit, cette définition ne permet pas non plus de faire de l'arithmétique (pas d'opérations).

"par convention 1 est un ensemble vide sans facteur"

Ca ça ne veut rien dire, je confirme...

[leg]

bonjour jean mari. il est exact que le problème est bien posé mais peut être pas la définition ou du non qu'on leur donne: parfait pair ces nombres sont d'une forme précise: n = 2^q-1((2^q)-1) où q est premier ainsi que ((2^q)-1) la somme des diviseurs de ces nombres est égale au nombre impair qui le précede en tenant compte des diviseurs distinct exepté le nombre et 1 = produit vide sans facteur.
question: aurait on cherché des nombres parfaits impairs...? qu'elle est ton
ou bien, on tient compte de tous ses diviseurs leur somme / 2 est égale au nombre pair de cette forme on ne chercherait pas non plus de nombre impair de cette forme puisque divisé par 2 il ne serait pas entier...
c'est pour cette particularité que j'afirme qu'il n'en existe pas! mais il est vrai que cela n'engage que moi et qu'il faut y réfléchir

[invite5fcc629e]

Parmis les entiers suivants, lesquels sont premiers ?


-11
0
1
2
3
5
9

[invitedebe236f]

2 3 5 premier
9=3*3
1 n est pas premier il me semble car tous nombre est divisible par 1
et il me semble pas que les negatifs ne sont pas premier