base canonique et rang de famille de vecteurs

[invitebf282e65]

Bonjour,

Soit f:R^3->R^3
(x,y,z) -> (x-y-z, 2x+y+4z, x+2y+5z)

(e1,e2,e3) la base canonique de R^3.
Déterminer le rang de la famille (f(e1), f(e2), f(e3)) en déduire dim Im f.

Déjà, comment je trouve e1,e2 et e3?

Merci!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

(e1,e2,e3) la base canonique de R^3.

Par définition :
e1=(1,0,0)
e2=(0,1,0)
e3=(0,0,1)

[invitebf282e65]

cf wiki "La base canonique de Rn est la suite des vecteurs dont les composantes sont toutes nulles sauf une qui vaut 1."

Pour R 4, ça serait e1=(1,0,0,0) e2=(0,1,0,0) e3=(0,0,1,0) et e4(0,0,0,1) si j'ai bien compris?

J'ai trouvé un rang=2 pour la famille.

Comment déduit-on la dimension de Im f à partir d'ici?

Merci

[maxwellien]

non c 'est toujours 3 car tu as 3 éléments qui forme ton EV (f(e1),f(e2),f(e3))
Pour l' image le théoréme du rang te dit: dim ker(f)+dim im(f)=dim V=3 (l' espace de départ)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Comment déduit-on la dimension de Im f à partir d'ici?

Im f est engendrée par f(e1), f(e2), f(e3), donc sa dimension est le rang de la famille de vecteur, c'est-à-dire 2.

[invite0a963149]

non c 'est toujours 3 car tu as 3 éléments qui forme ton EV (f(e1),f(e2),f(e3))
Pour l' image le théoréme du rang te dit: dim ker(f)+dim im(f)=dim V=3 (l' espace de départ)

Attention la famille n'est pas libre