Valeur propre...

[babaz]

Bonjour,

Π.v = v et

En quoi cela nous permet de déduire que 1 est valeur propre "dominante" de Π ?!

Merci
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
peux-tu préciser ce que tu entends par valeur propre dominante ? Et éventuellement des truc sur la matrice en question.

[invite0a963149]

Ola
En tout cas 1 m'a franchement l'air d'une valeur propre

[Seirios]

Bonsoir,

Il semblerait qu'une valeur propre dominante d'une matrice soit une valeur propre avec une norme maximale (par rapport aux autres valeurs propres). Mais il faudrait en savoir un peu plus sur , parce que dans le cas général, le résultat est faux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[babaz]

Π est la matrice de transition d'une chaîne de Markov.

[babaz]

Ola
En tout cas 1 m'a franchement l'air d'une valeur propre

Pourquoi ?

[acx01b]

j'ai dit une bétise

[NicoEnac]

Π est la matrice de transition d'une chaîne de Markov.

Cela ne nous en dit pas plus sur la matrice car la propriété Π.v = v avec v le vecteur défini plus haut fait que la somme des termes de chaque ligne de Π vaut 1.

[NicoEnac]

Re,

Je corrige mon précédent message, cela nous apprend également que les termes de la matrice Π sont tous positifs ou nuls.

[babaz]

Oui, ils sont tous positifs ou nuls (et même < 1) car il s'agit de probabilités.
Mais comment en déduit-on cette valeur propre "dominante" ?

[NicoEnac]

Bonjour,

Je pense qu'il suffit de montrer que ||Π.x|| <= ||x||. D'ailleurs, lorsque vous parlez de "norme", s'agit-il de la norme 2 ? Ou d'une norme p quelconque ?

[babaz]

Nous avons montré que Π.v = v avec v (avec v, vecteur colonne égal à ce écrit en premier post).

[invite79d10163]

Bonjour,

Puisque la matrice est stochastique, il est clair que 1 est valeur propre de associée au vecteur . Ceci résulte directement de la définition d'une matrice stochastique.

Ensuite, pour dire que la valeur propre 1 est dominante, on peut utiliser le théorème de Perron-Frobenius.

En pratique, ça donne quelque chose de ce gout:
Soit une valeur propre, on a . on a donc aussi . En passant au modules, on a: . Maintenant, en considérant que est la coordonée de plus grand module, et puisque , on en déduit bien que

[babaz]

Merci pour ta réponse !

[invite0a963149]

attendez pas besoin de s'embéter pour dire que 1 est valeur propre

y est valeur propre de A s'il exite une colonne non nulle telle que AX=yX

ça se passe de commentaire ...

[babaz]

C'est une proposition ?

[Seirios]

C'est une définition.

[babaz]

Pourrais-tu stp me ramener à un cours la contenant ?

[invite0a963149]

http://www.fds.world.mu/download/analyse/ana1.pdf

def1 ...

ciao

[babaz]

Merci beaucoup !

[invite0a963149]

comment peux tu faire des exos sur les valeurs propres sans en connaitre la définition ?

[babaz]

Je n'en fais pas pour le moment.