puissance de matrice

[369]

bonsoir,
j'aurai besoin d'aide pour la question de cette exercice.
Soit C l'ensemble des matrices réelles de la forme a -b
b a
déterminer la matrice A^k avec k dans Z
A= cos a -sin b
sin b cos a

pour résoudre dans le corrigé il ont considéré une application f de C dans M2(R)
f: a+ib= a -b
b a
il ont dit que la matrice A est l'image par f du nombre complexe exp(ia) d'ou le résultat

donc mes questions sont: pourquoi considère t on une application f? Comment ont ils eut l'idée de mettre ca? Pourquoi l'image de a+ib donne une matrice?
Cette méthode est elle extensible pour tout les calcul de puissance de matrice par exemple A^n

merci de votre aide
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[invite401b9562]

Bonsoir,

si je dit pas de bétise :

F est un isomorphisme de C dans M2(R) (a vérifier).

De plus on voit bien que e^(ia) aprés lui avoir appliqué f donne bien la matrice que tu veut élever.

donc e^(ia)^k=e^(ika)=cos(ka) + i sin(ka)

tu pose a=cos(ka) et b=sin(ka) et en appliquant f tu obtient ta matrice a la puissance k : cos(ka) -sin(ka)
sin(ka) cos(ka)

C'est une astuce de calcul je sais pas si c'est évident de trouver un isomorphime a chaque fois...

De plus pour les matrice de SO(2) comme la tienne, c'est assez simple de trouver la k-iéme puissance en utilisant les régle sur les cos et sin !

Enfin une autre maniére d'elever une matrice a la puissance k c'est de la diagonaliser (quand c'est possible) et d'élever la matrice diagonale a la puissance k (facile puisqu'elle est diagonale) et ensuite faire PD^kP^-1 =M^k

[thepasboss]

Bonsoir,

Ce n'est pas un isomorphisme, simplement un morphisme injectif.
Il s'agit en fait d'une méthode bien connue de construction de C, à savoir le définir comme étant l'ensemble des matrice de la forme
a -b
b a

[silk78]

Bonjour,


Attention, ici il faut bien remarquer que l'intérêt de cette application c'est qu'elle est compatible avec les lois de multiplications respectives de C et de M₂(R), c'est-à-dire que :
Pour tout z,z' complexes : f(zz')=f(z).f(z') où . est la multiplication matricielle

Du coup, en observant que A=f(e^ia), on a rapidement A^k=f((e^ia)^k)=f(e^ika).


Pour savoir d'où vient l'idée, je dirais que le premier réflexe à avoir avec ce genre de question, c'est de calculer la multiplication de deux matrices de cette forme là et ensuite, ben ... il faut avoir le coup d'œil et y reconnaître un produit de complexe. C'est pas obligatoirement super évident, mais de toute façon la question ici peut se résoudre assez facilement sans passer pas cette application.


Pourquoi l'image de a+ib est une matrice : bah ici je ne vois pas grand chose à dire à part que c'est comme ça que l'application est définie, tu pars des nombres a et b et tu construis une matrice avec.


Enfin y a-t-il une généralisation de cette méthode pour toute les matrices. A ma connaissance non, et ça me parait difficile vu que c'est la forme très particulière de ces matrices, qui donne à l'ensemble C une structure de corps isomorphe à C, qui permet de ramener les calculs sur les matrices à des calculs sur C.

Cependant, il me semble qu'on peut utiliser une technique similaire pour des matrices assez proches, en faisant appel aux complexes fendus, si tu es curieux à ce sujet. Il me semble que ce sont les matrices "tessarines".


Silk

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