calcul du rayon équivalent à une aire complexe

[invite9f74048f]

Bonsoir tout le monde,

J'ai débuté un calcul d'une aire légèrement complexe.


Je suis parvenu au résultat suivant :
A = 4 * [ ( √ ( R² – E² ) * E ) + [ ( R² * π ) / 360 ] * ( 90 – 2 * Arctan ( √ ( R² – E² ) / E ) * 180 / π ) ]

Après affinage, je suis rendu ici :
A = πR² + 4R² * [ √ [ 1 – ( E / R )² ] – Arccos ( E / R ) ]

Je sais calculer A lorsque je connais R, E étant une constante.
Mon problème est que je ne parviens pas "retourner" ma formule pour calculer R lorsque je connais A.

Si quelqu'un a une piste, je suis preneur. Je ne demande pas la solution toute faite

D'avance, merci
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[invite7c6483e1]

C'est sûrement parce que la notion de rayon n'a plus de sens du coup...
La formule que tu as est celle de l'aire d'une figure géométrique qui n'est plus un disque... Du coup la notion de rayon n'a plus de sens pour moi.

Après je n'ai pas vraiment creusé.

[invite7c6483e1]

.

Après je n'ai pas vraiment creusé.

ok j'ai compris ce que tu veux. Tu veux une fonction qui donne R. Mais en fait R tu le connais selon que tu sois sur le cercle ou sur un morceau de côté du carré... Je ne vois pas pourquoi tu veux l'obtenir à partir de l'aire en fait 0_0

[invite7c6483e1]

Et d'ailleurs, inverser ta formule ne donnera pas grand'chose parce que la fonction qui à R associe son aire et qui a pour expression ce que tu donnes, n'est pas une bijection pour R>0...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c6483e1]

Ah je me suis avancé... Non c'est bien strictement croissant pour R>0... J'avais la flemme de calculer la dérivée :P

[invitea07f6506]

Il me semble que la formule est fausse. Normalement, on devrait obtenir une expression de valide pour , et une autre expression plus simple (l'aire d'un carré) pour . Ce n'est pas le cas.

[invite9f74048f]

Merci pour tes questions.

En fait il s'agit d'une étude sur les points de trame dans l'imprimerie.

Le carré représente un "pixel" qui sera matérialisé à l'impression par une ellipse (ici un cercle pour faciliter le travail).

Tant que le diamètre du point est inférieur au côté du pixel, il n'y a pas de soucis car la surface couverte A vaut πR² et je peux retrouver R d'après A.

À partir d'environ 78,54 % de couverture de l'aire du pixel, le diamètre du cercle est compris en la valeur du côté du pixel et la valeur de la diagonale du pixel. J'ai donc R appartient à l'intervalle [côté ; diagonale] ce qui, je l'espère, limitera les solutions.

[invite7c6483e1]

Oui je n'ai pas vérifié sa formule, mais ça rejoint ce que je disais: quand on est sur le cercle, on connait R, et quand on est sur le carré, on connait R avec un petit calcul genre pythagore... Du coup, je ne comprends pas pourquoi on se prend la tête...

[invitea07f6506]

Bon, calculs faits, on a :

* Pour :


* Pour :


* Pour :


Il me semble qu'il n'est pas possible d'exprimer en fonction de avec des fonctions usuelles.

[invite9f74048f]

J'ai confondu R avec le diamètre du cercle dans le message précédent. Je reprends en essayant d'être plus clair.

Le diamètre du cercle (2R) est borné par l'intervalle [0 ; diagonale du carré]. On trouve 3 cas :

Cas 1
0 ≤ 2R ≤ côté du carré.
Le cercle est inclus dans le carré, l'intersection du carré et du cercle est le cercle. Il n'y a pas de difficulté.

Cas 2
côté du carré < 2R < diagonale du carré
Le cercle et le carré sont en intersection. Je parviens à calculer cette aire A lorsque je connais R, mais je souhaiterais trouver une formule pour calculer R lorsque je connais uniquement A et le côté du carré.

Cas 3
2R = diagonale du carré
Le cercle est circonscrit au carré, l'intersection du carré et du cercle est le carré. Il n'y a pas de difficulté.

C'est donc le Cas 2 qui me pose problème.

[invite9f74048f]

Il me semble qu'il n'est pas possible d'exprimer en fonction de avec des fonctions usuelles.

Voilà ce qui me faisait peur

J'avais peu à peu l'impression que mes petits moyens en géométrie ne viendraient pas à bout de mon projet. Je vais devoir vivre avec la honte de devoir m'appuyer sur la fonction "valeur cible…" de mon tableur ou me résoudre à faire des progrès

Merci à vous.

[invitea07f6506]

Petite erreur dans mon précédent message; On trouve dans le cas intéressant :



Fonction que je crois être non inversible avec des fonctions usuelles.

[invite7c6483e1]

Une approche par calcul d'intégrale est peut être possible... en approximant l'arc de cercle et en faisant la différence avec l'aire d'un quart du carré... c'est une piste.

[invite7c6483e1]

c'est strictement croissant pour R>0 aussi ce que tu donnes. Donc au pire même s'il ne peut pas l'exprimer avec des fonctions, il peut en faire un calcul avec un pas suffisamment fin et l'inverser disons "point par point"...

[invite9f74048f]

Bonjour,

J'avais effectivement une erreur dans ma formule (mauvaise lecture d'une identité trigonométrique et je n'ai pas réagi). Ma dernière formule est donc :

A = 4 * E * R * √ [ 1 – ( E / R )² ] + R² [ π – 4 * Arccos ( E / R ) ]

Dans le Cas 2 qui m'intéresse particulièrement, les progressions des aires du secteur, du triangle (équivalent au deux triangles rectangle) et de la somme des deux donnent ceci :



En vert, la courbe de progression de l'aire d'intersection du carré et du cercle avec E ≤ R ≤ diagonale du carré.