Un isomorphisme d'algèbres récalcitrant en théorie des représentations

[invite7c6483e1]

Salut tout le monde,

J'ai un exercice qui consiste à exhiber un isomorphisme d'algèbres entre et , où est une représentation IRREDUCTIBLE de dimension finie de un groupe fini.

J'ai commencé par essayer de simplifier l'interprétation de . En effet, . Le dernier isomorphisme résultant du lemme de Schur puisqu'on a des endomorphismes linéaires d'une représentation irréductible...
Et là c'est le drame parce que est une algèbre commutative alors que les matrices ça commute pas tant que ça... Bon je fais attention au fait que les isomorphismes dont je parle sont des isomorphismes de représentations, i.e., des isomorphismes d'espaces vecoriels qui sont linéaires en regard de l'action du groupe. Seulement un isomorphisme d'algèbres c'est déjà un isomorphisme d'espaces vectoriels, donc si est isomorphe à déjà en tant qu'espace vectoriel, je suis mal barré pour trouver un isomorphisme d'algèbres avec non ? Ou alors je mélange tout
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[invite57a1e779]

En fait, il faut voir ton isomorphisme d'espaces vectoriels obtenus par le lemme de Schur sous la forme :



avec .

Chaque est isomorphe à , mais tu ne vois plus un élément de sous la forme d'un quadruplet mais bien sous la forme d'une matrice .

Tu obtiens donc naturellement un isomorphisme entre et au lieu de ; il reste à voir que c'est compatible avec la structure d'algèbre.

N.B. : je n'ai pas regardé de près la numérotation de mes indices, il faut peut-être transposer la matrice pour obtenir le bon isomorphisme.