Trigonalisation : est-ce la bonne méthode ?

[invitec3143530]

Bonjour, pouvez-vous me dire si pour trigonaliser un endomorphisme on procède de cette façon ? je pars sur un exemple d'endomorphisme de R^3 ayant une seule valeur propre lambda de multiplicité géométrique 1. Un vecteur du sous espace propre associé à lambda est v1.


Le premier vecteur de la base triangulaire sera donc naturellement v1.

Pour déterminer v2, j'écris f(v2) = xv1 + lambda v2 (car dans une matrice triangulaire les termes diagonaux sont les valeurs propres)

Je fixe x réel, le choix de x importe peu ?

Je calcule donc la solution v2 du système linéaire (f-lambdaId)(v2) = xv1

J'obtiens le vecteur v2.
Enfin je choisis un vecteur non lié à v1 et v2 pour terminer la base, le choix de ce vecteur v3 importe peu tant que v1, v2 v3 soit libre ?


Est-ce correcte ? Est-ce valable pour tout endomorphisme de n'importe quelle dimension ?
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[invite9617f995]

Bonjour,

La méthode utilisée fonctionne.

Dans un cadre plus général, je n'ai jamais vraiment vu de méthodes pour trigonaliser des endomorphismes mais voilà les idées qui me viennent à l'esprit, et qui ont sans doute moyen d'être améliorées.

Déjà tout premier truc à faire, chercher les valeurs propres, leurs multiplicités et les vecteurs propres, qui donneront des termes uniquement diagonaux.

Ensuite il me parait assez laborieux de chercher des vecteurs qui vérifie f(v_i)=λv_i+x₁v₁+...+x_i-1v_i-1, surtout qu'à ce moment là, on se sait pas si on peut prendre des x_i quelconques.

Donc je pense qu'on peut déjà restreindre la somme des x_jv_j aux v_j qui sont dans l'espace caractéristique associé à la valeur propre λ, vu que celui est stable par f.

Une remarque en passant ici, bien que la résolution de systèmes est une méthode qui marche, on peut aussi remarquer que les v_i dans un espace caractéristique associé à la valeur propre λ peuvent être trouvés en déterminant le noyau des puissances successives de (f-λId). J'avoue ne pas trop savoir quelle est la méthode la plus rapide.


Ce genre de méthode se fait je pense assez rapidement lorsque les dimensions des espaces caractéristiques sont assez petites.
Quand celles-ci sont plus grandes, ou que l'on cherche une trigonalisation un peu plus spécifique et plus simple à utiliser pour des calculs postérieurs, alors il faut plutôt se tourner vers la réduction de Jordan, mais je ne sais pas si tu l'as déjà traité en cours.

Et encore une fois, je tiens à préciser que ce ne sont que les idées qui me viennent à l'esprit sur le coup, doit y avoir des méthodes plus efficaces (notamment Jordan doit sans doute te permettre de chercher la solution de système beaucoup moins compliqués).

Silk