[spé math] Esce que ma méthode est bonne ?

[invite29e48b79]

Salut

Voilà j'ai un exo de spécialité math (Ts) à faire et je suis pas sûr d'avoir raison :

- Vérifier que 7 congru à -1 [10]
- Trouver le chiffre des unités de 1 + 7 + 7² + ... + 7^400 = S

Bon la première question ça va

Ensuite je suis pas sûr d'utiliser la méthode la plus simple :
Je pose S = S1 + S2 + 7^400
avec S1 = 1 + 7² + ... + 7^398
et S2 = 7 + 7^3 + ... + 7^399

Pour S1 j'ai un nombre pair de 7^(2n), donc de (7²)^n, donc congrus à (-1)^n ... Comme j'ai un nombre pair de termes consécutifs de cette forme j'aurais S1 congru à 1 - 1 + 1-1 + ... congru à 0 [10]

Pour S1 j'ai un nombre pair de 7^(2n+1), donc de 7*(7²)^n, donc congrus à 7*(-1)^n ... Comme j'ai un nombre pair de termes consécutifs de cette forme j'aurais S2 congru à 7 - 7 + 7-7 + ... congru à 0 [10]

Donc il me reste 7^400 congru (7²)^200 congru à 1 [10]

Donc j'en déduit que le chiffre des unités de S est 1

Esce que c'est bon ? Esce que y'a pas une méthode plus simple ?

Merci
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[invite97a92052]

Salut,

Tu es sûr que 7 est congru à -1 modulo 10 ?

[invite29e48b79]

Euh je me suis bien entendu gouré sur l'énoncé de la 1ere question c'est 7² congru à -1 [10] désolé

[invité576543]

Bonsoir,

Je trouve le même résultat. On peut aller un poil plus vite en déduisant que 7⁴=1, donc que la somme est cyclique modulo 4 termes. Le cycle vaut 1 + 7 -1 - 7=0. Comme il y a 401 termes, il suffit de garder le premier, soit 1!

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite29e48b79]

Re-Salut...

voilà je me demandais... si je fais la formule de somme de série géométrique... j'ai Sn = (1 - q^(n+1))/(1 -q) = (7^401 - 1)/6

Je voulais savoir si je peux utiliser les congruences pour réduire le numérateur (congru 6 [10]), et ensuite en déduire de ça fait 1 car 6/6 = 1... mais je suis pas sûr qu'on puisse utiliser les divisions avec les congruences masi comme on tombe sur le bon résultat...