Ensemble bien connu

[invite332de63a]

Bonjour je vous propose (pour ceux que çà intéresse) l'ensemble E définit comme s'en suit (en espérant ne pas faire d'erreur) :



où est le segment ouvert d'extrémités et vu dans

Expliciter les points de E et en déduire qu'il est en relation bijective simple avec un corps bien connu.

RoBeRTo
-----

[invite0a963149]

salut

égal a l'ensemble vide ?

Ciao

[invite332de63a]

Ah ben non par exemple (0,1) dans mon ensemble E

[invite986312212]

cet ensemble peut être mis en bijection avec l'ensemble des éléments d'un corps connu, ok maintenant il te faut voir ce que donnent en termes géométriques, l'addition et la multiplication dudit corps quand tu les transportes à l'aide de la réciproque de ta bijection.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite332de63a]

Si f est une bijection de C sur A avec (C,+,x) un corps et A un ensemble alors on peut définir sur A deux opérations que l'on notera + et x par

x+y= f ( f^(-1)(x)+f^(-1)(y) ) et de même pour la multiplication.
Après géométriquement cela doit pas être si simple. Je vais y regarder.

Mon ensemble peut être exprimé d'une autre façon grâce aux pgcd et ceci devient directement plus clair.

[invite0a963149]

Ah ben non par exemple (0,1) dans mon ensemble E

non je te demandais si dans ton énoncé l'ensemble que tu étudies c'est les a, b tels que 0,0 x a,b = ensemble vide ??? (désolé la flemme de regarder la nature des intervalles)

[Médiat]

?

[acx01b]

c'est dénombrable donc je peux te faire une bijection avec Q tranquillou les mains dans les poches

[Médiat]

Oui, mais là il n'y a rien à faire (et je ne suis pas certain qu'exhiber une bijection entre et tous les ensembles dénombrables soient toujours ... tranquilou).

[Seirios]

Bonsoir,

Bonjour je vous propose (pour ceux que çà intéresse) l'ensemble E définit comme s'en suit (en espérant ne pas faire d'erreur) :



où est le segment ouvert d'extrémités et vu dans

Expliciter les points de E et en déduire qu'il est en relation bijective simple avec un corps bien connu.

On montre que équivaut à ; donc la bijection avec les rationnels est facile à expliciter grâce à l'unicité de l'écriture en , avec et .

Sinon, parler du corps des rationnels alors qu'une bijection ne fait intervenir aucune structure algébrique ? (il s'agit simplement de l'ensemble des rationnels, la mention de corps me paraît de trop...)

[Seirios]

On montre que équivaut à

Je détaille tout de même :

 Cliquez pour afficher

Si , alors le point appartient au segment séparant a et b qui a pour équation , avec . Réciproquement, si et si appartient à la demi-droite [(0,0),(a,b)), alors , donc a divise x (théorème de Gauss), d'où ; ainsi, ce point n'appartient pas au segment qui nous intéresse.

[invite332de63a]

Voilà Serios(Phys 2). C'est bien Q, il suffit de montrer ce que tu as fait pour que çà devienne évident.

Acx01b, biensur mais bon ... je peux aussi faire une bijection avec N , avec Z evec encore plein d'ensembles farfelus mais ici c'est Q qui lui "ressemble" le plus.

On peut remarquer que sur Q la fonction qui à un rationnel accocie son dénominateur, soit

Alors pour la distance usuelle sur Q on peut remarquer que D n'est pas bornée sur toute boule de rayon non nul.

On peut donc grâce à E introduire une distance d1 sur Q qui fait donc que D est bornée sur toute boule de rayon fini pour d1.
Le problème étant que une boule de rayon <1 pour d1 est réduite à son centre alors les seules suites convergentes de Q pour d1 sont les constantes à partir d'un certain rang donc bon on perd quand même pas mal de propriétés.

RoBeRTo