Ensemble bien ordonné concernant les nombres rationnels

[invite6754323456711]

Bonjour,

Dixi Wiki : L'ensemble des nombres rationnels, muni de l'ordre habituel des rationnels : , n'est pas bien ordonné.


On définit, sur l’ensemble Z×Z*, la relation binaire R de la façon suivante : (a, b) R (a₀, b₀) <==> ab₀ = ba₀
Un nombre rationnel est la classe d’équivalence d’un élément (a, b) de Z × Z*
Q est l’ensemble quotient Z × Z*/R des nombres rationnels.

Un ensemble ordonné ( E, ≤ ) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément.

Quel sont les parties non vide de qui ne possède pas de plus petit élément ? Je suppose qu'il n'a pas besoin d'être unique.

Patrick
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[Seirios]

Bonjour,

Quel sont les parties non vide de qui ne possède pas de plus petit élément ? Je suppose qu'il n'a pas besoin d'être unique.

Tu veux connaître toutes les parties non vides qui ne possède pas de plus petit élément ou simplement un exemple ? Si c'est un exemple, on peut choisir , avec , et A ne possède pas de plus petit élément. D'ailleurs, s'il existe un plus petit élément, il est unique.

[invite6754323456711]

Bonjour
Tu veux connaître toutes les parties non vides qui ne possède pas de plus petit élément ou simplement un exemple ? Si c'est un exemple, on peut choisir , avec , et A ne possède pas de plus petit élément.

L'exemple me va très bien, merci. Il existe une infinité de rationnel entre x et a. En fait ce que je cherche est comment arrive t'on à montrer (quel est la bijection avec IN) que est dénombrable et de cardinal ?

D'ailleurs, s'il existe un plus petit élément, il est unique.

Lorsque l'on a des classes d'équivalences c'est la classe d'équivalence qui est unique et représente le plus petit élément ?

Patrick

[Seirios]

L'exemple me va très bien, merci. Il existe une infinité de rationnel entre x et a. En fait ce que je cherche est comment arrive t'on à montrer (quel est la bijection avec IN) que est dénombrable et de cardinal ?

Si on appelle la relation d'équivalence "isomorphe à", on peut montrer que (assez facil à montrer), puis que (le produit cartésien d'ensembles dénombrables est dénombrable) ; par transitivité, .

Lorsque l'on a des classes d'équivalences c'est la classe d'équivalence qui est unique et représente le plus petit élément ?

Tout à fait.

[A voir en vidéo sur Futura]