Nombres rationnels : période avec retard

[invite3e257a4d]

Bonjour,

Je suis entrain de faire des travaux sur les nombres rationnels et je ne parviens pas à trouver pourquoi certains nombres admettent une péiodicité avec retard... J'ai beau chercher sur le Web je n'ai pas trouvé grand chose d'intéressant.

Par exemple 1 / 6 = 0.1666...

Si vous pouviez me donnez quelques pistes .

Merci à vous.

Bye.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Un nombre dont le développement est périodique, 42 dans l'exemple, est la somme d'une série géométrique, dont on peut facilement exprimer la somme :

Dans le cas général d'une période de chiffres, on a

S'il y a zéros derrière la virgule, il faut encore multiplier notre résultat par , par exemple
On ne peut atteindre ainsi que les rationnels qui admettent un dénominateur de la forme .
Le "retard de période" permet d'obtenir les autres...

[invite3e257a4d]

Merci à toi pour ta réponse,

Alors effectivement ça je suis d'accord mais ce que je voulais savoir c'est que par exemple pour un nombre rationnel décimal, on peut montrer que le dénominateur se décompose en produit de facteurs premiers . Ainsi je me demandais pour les nombres admettant une période à retard mais pas un retard composé de 0, un retard composé de chiffres tels 1 en sachant que le dit nombre n'est pas décimal.

D'où mon exemple avec le 1/6 = 0.1666...

D'ailleurs j'ai vu un aperçu d'explication avec la décomposition du dénominateur en produit de facteurs premiers 2 et 5 où la puissance la plus grande associée à 2 ou à 5 représentait le retard. Par exemple et donc le retard est de 3 avant la répétition de la période 0. Malheureusement je ne vois absolument pas comment montrer ceci donc si vous aviez quelques pistes, ce serait super .

Voilà encore merci à vous.

Bye

[invite57a1e779]

On considère un nombre rationnel de dénominateur que l'on écrit sous la forme où n'est divisible ni par 2, ni par 5, donc est premier avec toutes les puissances de 10.
Dans , les entiers doivent se répartir dans classes au plus.
Par le principe des tiroirs, il existe et , avec , qui sont dans la même classe, donc divise . Comme est premier avec , le théorème de Gauss assure que divise que je noterai désormais , et l'on a .
D'autre part est un nombre décimal que l'on peut mettre sous la forme .

Le rationnel initial peut donc être mis sous la forme :

On effectue alors la division euclidienne de par , et l'on obtient avec , donc s'écrit avec au plus p chiffres, pour écrire

où
– est un entier ;
– a un développement décimal avec la période écrite sur chiffres (compléter éventuellement l'éciture de par des zéros à gauche) ;
– opère un déplacement de la virgule pour la placer au bon endroit.

PS : est la bonne valeur de la somme de la série représentée par le développement périodique. La valeur indiquée dans ma réponse précédente est fausse pour cause d'erreur sur le premier terme de la série géométrique...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e257a4d]

Re,

Merci pour cette explication, malheureusement je ne comprends pas trop le principae des classes de d. Serait-il possible de simplifier ce problème histoire de comprendre le principe de la démonstration ?

Merci à vous.

Bye.

[invite57a1e779]

Un exemple numérique, pour montrer comment ça marche : .
Comme , on cherche qui soit multiple de 37.
On les essaie :
– 9 n'est pas multiple de 37 ;
– 99 n'est pas multiple de 37 ;
– 999 = 27.37.
C'est parti : .
On divise 71955 par 999 : 71955 = 72.999 + 27, donc

.

Le problème qui te chagrine est que je puisse toujours trouver mon qui soit multiple de (ici 999 multiple de 37).

On divise par : on obtient un reste . Comme il n'y a que valeurs possibles (de 0 à ) pour le reste, en calculant restes, je suis certain d'en trouver 2 qui sont égaux (principe des tiroirs).
Si et ont même reste quand on les divise par , alors leur différence est divisible par .
Comme (qui n'est divisible ni par 2 ni par 5) est premier avec , il divise . Je trouverais donc .
Dans la pratique, on trouve directement multiple de : pour trouver 2 restes égaux, il faudrait aller jusqu'à , et , on aura donc testé sans avoir besoin de tester .

[invite3e257a4d]

Merci beaucoup à toi , j'ai réussi à avancer.

PS : Désolé pour le retard de la réponse mais j'avais peu de temps.