Developpement limité

[invite36ea3484]

Bonsoir

j'ai fait le développement de (1+cosx)^3

j'aimerai que quelqu'un le fasse pour que je puisse savoir si le DL que j'ai fais est bon.

Merci
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Je trouve : .

[invite36ea3484]

Bonsoir, dsl c'est au voisinage de 0 à l'ordre 2
et je trouve en utilisant la composée :
27+(27/2)x^2

[invite57a1e779]

Comme , le terme constant du développement limité est 8, et pas 27.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36ea3484]

quand je fais le DL au voisinage de 1 de (1+u)^3 et à l'ordre 1 je trouve
(2+u)^3 = 27+27 u
ensuite je remplace u par -x^2/2 et je trouve finalement
27-(27/2)x^2

[invite57a1e779]

Je ne sais pas comment tu calcules (2+u)^3, mais 2 est pair, en élevant au cube, tu ne peux pas trouver 27 qui est impair. Ta formule est visiblement fausse pour u=0.

[invite36ea3484]

oui je pense que je me trompe dans le DL de (2+u)^3, je dois utiliser la formule de taylor young : f(a+h)= f(a) + h f'(a)

[invite57a1e779]

Que tu utilises la formule de Taylor-Young, ou le binôme de Newton, l'important est de ne pas te tromper dans le calcul explicite des coefficients.

Je te conseille de commencer par écrire .

[invite36ea3484]

je ne comprends f(a)= (2+1)^3= 27 non?

[invite57a1e779]

quand je fais le DL au voisinage de 1 de (1+u)^3 et à l'ordre 1 je trouve
(2+u)^3 = 27+27 u

Que se passe-t-il pour u=0 ? On obtient (2+0)^3, pas (2+1)^3 .

[invite36ea3484]

D'accord je comprends merci.
donc je trouve finalement 8-6x^2

Une dernière question sans aucun rapport quelle est la fonction réciproque de cosx/sinx c'est à dire 1/tanx? est-ce 1/arctanx?

[invite57a1e779]

Cette fois, c'est le bon résultat.

Pour déterminer la fonction réciproque de , tu dois résoudre l'équation . Une bonne méthode est de poser , ce qui échangera le cosinus et le sinus.

Mais cette fonction réciproque de n'est pas .

[invite36ea3484]

je sais que c'est arctan(1/x) mais je ne vois pas comment on peut arriver à ce résultat ni pourquoi ce n'est pas 1/arctanx ...

[invite57a1e779]

Il suffit d'utiliser la définition : si et seulement si .

[invite36ea3484]

si j'applique cette déf, j'arrive à y=cosx/sinx=cos(f^-1(y))/sin(f^-1(y))
mais je ne vois toujours pas comment arriver au résultat :S

[invite57a1e779]

Tu ne dois pas remplacer par , mais le calculer en résolvant l'équation .

C'est la résolution de l'équation qui permet le calcul de .

[invite36ea3484]

l'inconnue c'est x?
mais y aussi ...

je suis désolée que vous ayez à subir ma lenteur de comprehension mais je ne vois pas comment je peux résoudre cette équation, si vous pouvez m'éclairer un peu plus ...

[invite57a1e779]

L'inconnue, c'est x, et il faut calculer x en fonction de y.

Quand tu résous y=exp(x), l'inconnue c'est x, tu la calcules en fonction de y, tu trouves x=ln(y), et tu en déduis que la fonction réciproque de l'exponentielle, c'est la fonction logarithme.

Ici, c'est pareil, avec l'équation y=cos(x)/sin(x).

[invite36ea3484]

Oui je comprends mais pour cet exemple on a juste à appliquer la fonction ln et le résultat vient tout seul alors que là je ne vois pas comment je peux arriver à arctan(1/x) ...

[invite36ea3484]

Quand moi j'essaye de résoudre cette équation ça me donne:
arctany=1/x

[invite36ea3484]

C'est bon j'ai trouvé le bon résultat.
Merci