Moment d'inertie d'un ellipse via une intégrale double

[invite04c09029]

Bonjour tout le monde, comme vous pouvez voir, je suis nouveau sur ce forum. J'ai fait une recherche sur le forum à savoir si je trouverais réponse à ma question mais ce fut en vain.

Je pose donc ma question. Je dois calculer les moments d'inertie selon X et selon Y d'une ellipse via une intégrale double. Cependant, je n'arrive à rien.

Je sais que l'inertie en X par exemple est:
int(y^2)dxdy

J'ai essayé différentes méthodes: intégrale en coordonnées polaire, ce qui ne fonctionne pas puisque je ne suis pas en présence d'un cercle donc je n'ai aucune idée comment borner mon intégrale en dr.

Par la suite, j'ai tenté de rester en x et y en isolant X par exemple afin de l'avoir en fonction de Y (i.e. +/- a*racine(1-y^2/b^2)) mais j'arrive à une intégrale que je ne suis pas capable de résoudre qui est:

int(y^2*racine(1-(y^2/b^2)))dy entre -b et b. L'intégrale selon x étant déjà faite.

J'ai tenté de faire de faire la même chose, mais en changeant l'ordre d'intégration et mes bornes et je n'ai pas plus réussi. Y'a-t'il quelqu'un qui est en mesure de m'aider. C'est un devoir que je dois remettre ce jeudi et c'est le seul numéro que je ne réussi pas à faire.
Merci!
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[invitea3eb043e]

Il faut calculer l'intégrale double de (x²+y²) ds sur l'intérieur de l'ellipse.
Alors,pourquoi ne pas scinder cela en 2 et commencer par l'intégrale de x² ds et ensuite celle de y² ds (il suffira d'échanger a et b) ?
Prenons 1/4 de l'ellipse pour alléger.
ds est un morceau entre x et x+dx limité entre 0 et y(x) (fais un dessin), donc ds vaudra y(x) dx car x est constant sur cette bande.
L'intégrale est alors très simple, surtout si on fait le changement de variable
x = a cos(u)
y = b sin(u)
Vérifier que si a=b on trouve bien la formule classique 1/2 S R²

[invitea3eb043e]

Histoire de créer un peu la perturbation : on peut le faire sans aucun calcul.
Comparons l'intégrale de x² ds pour une ellipse de grand axe a et un cercle de rayon a qui vaut M a²/4 (la moitié de M a²/2). On voit que la seule différence sera dans le y dx contenu dans ds qui sera multiplié par b/a, mais la même chose vaut pour l'intégrale de ds donc la formule sera :
intégrale de x² ds = S a²/4 où S = aire de l'ellipse
intégrale de y² ds = S b²/4
Et le moment d'inertie S(a²+b²)/4
Aucune intégrale, mais c'est peut-être un peu délicat à comprendre !

[invite57a1e779]

Nonjour,

j'arrive à une intégrale que je ne suis pas capable de résoudre qui est:
int(y^2*racine(1-(y^2/b^2)))dy entre -b et b. L'intégrale selon x étant déjà faite.

Pour calculer , la méthode classique est de pratiquer le changement de variable : , donc , ce qui donne:

Je sais que l'inertie en X par exemple est:
int(y^2)dxdy

J'ai essayé différentes méthodes: intégrale en coordonnées polaire, ce qui ne fonctionne pas puisque je ne suis pas en présence d'un cercle donc je n'ai aucune idée comment borner mon intégrale en dr.

Il faut adapter les coordonnées polaires à l'ellipse, au lieu du classique :



il est préférable de prendre ici :



où l'on passe bien en polaires, mais pour les coordonnées auxiliaires et qui satisfont .

Le calcul du moment d'inertie se simplifie, du fait que : , et on obtient :



et les intégrales en et en se séparent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Et ça fait bien S b²/4 donc avec la contribution de l'intégrale de y, ça fait S(a²+b²)/4 et c'est bon.

[invite04c09029]

Merci beaucoup tout le monde. J'ai réussi en utilisant un changement de variable semblable à God's Breath, ce qui avait pour effet de remplacer ma racine avec une identité trigonométrique. C'était quelque de relativement simple, sauf je n'y avais pas pensé avant. Disons qu'en cette fin de session et la fatigue, des fois nous oublions des trucs.
PS: ne vous inquiétez vous pas, je ne me couche pas à 5h44 du matin comme vous pouvez voir, je suis du Québec, il est donc 00h44. Au cas où certains se le demandent!