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integrale double sur une ellipse



  1. #1
    invite77420056

    integrale double sur une ellipse


    ------

    bonjour à tous.voila mon probleme : je dois calculer l'integrale double de xy sur U. U etant defini par (x,y) appartient à R2 tel que (x^2/a^2)+(y^2/b^2)<ou = à 1.je n'arrive pas à trouver les bornes des deux integrale.j'ai cherché et j'ai trouver que les deux premieres bornes de la premiere integrale etaient 0 et y .avec y=b racine carrée de (1-(x^2/a^2)).mais en regardant le corrigé je me suis apercu que c'etait faux ils marquaient comme bornes 0 et b/a fois racine carrée de (a^2 - x^2).je ne comprend pas mon erreur .quelqu'un aurait il la gentillesse de m'expliquer mon erreur et de m'aider a trouver les bornes des deux integrales grace au dessin de l'ellipse car je comprend rien .

    -----

  2. #2
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    merci d'avance pour vos reponses

  3. #3
    Garnet

    Re : integrale double sur une ellipse

    b racine carrée de (1-(x^2/a^2))
    b/a fois racine carrée de (a^2 - x^2)
    C'est la même chose !!!!

  4. #4
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    merci bcp pour ton aide javais pas fait ettention

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    nabil1235789

    Re : integrale double sur une ellipse

    Bonjour:
    tout d'abord mon intuition me dit que notre intgral est nulle( dans le domaine dintegration pour chaque x il existe un (-x) et idem pour y)
    Voila j'ai un petit astuce qui consiste a faire un changement de variable
    Posant: x = a.u et y = b.v donc notre équation devient:u^2+v^2<ou = à 1
    ce qui veut dire qu'on va integre sur un cercle de rayon 1.
    et donc integ(xydxdy) sur l'ellipse = a^2.b^2.integ (uvdudv) sur un cercle de rayon 1
    le problème devient donc le ccalcul de: integ (uvdudv) sur un cercle de rayon 1

    passons donc aux coordonnées polaires : u=rcos(t) et v = r sin(t) avec:
    r varie de 0 à 1 et t varie de 0 à 2.Pi
    uv = r^2.cos(t).sin(t) et du.dv = dS = r.dt.dr ( elmt de surface en polaire)

    integ (uvdudv) = integ( r^3.cos(t).sin(t).dt.dr)=0
    car integ(cos(t).sin(t).dt) =0
    car la primitive de sin(t)cos(t) = sin^2(t)/2 ou -cos(2t)/4

  7. #6
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    merci bcp nabil ca devient encore plus clair meme si javais deja compris avant ton message .merci

  8. #7
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    je crois que nabil se trompe car mon integrale a pour resultat a^2b^2/2 .mais ce que je voudrais savoir c'est sur quoi il se trompe.merci d'avance

  9. #8
    Garnet

    Re : integrale double sur une ellipse

    Ne serait-ce pas l'intégrale de qu'on te demande et non pas celle de par hasard ?

  10. #9
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    oui c'est ca c'est bien valeur absolue de xy.pourquoi???

  11. #10
    nabil1235789

    Re : integrale double sur une ellipse

    bonjour
    si c'est valeure absolue alors tu n'as pas lu mon intuition
    bien sur dans ce cas notre integral est differente de zero
    Posant: x = a.u et y = b.v donc notre équation devient:u^2+v^2<ou = à 1
    ce qui veut dire qu'on va integre sur un cercle de rayon 1.
    et donc integ(xydxdy) sur l'ellipse = a^2.b^2.integ (/uv/dudv) sur un cercle de
    rayon 1
    passons donc aux coordonnées polaires : u=rcos(t) et v = r sin(t) avec:
    r varie de 0 à 1 et t varie de 0 à 2.Pi
    et puisqu'il s'agit de la valeure absoulu alors notre integrale :

    a^2.b^2.integ (/uv/dudv) = 4.(a^2.b^2).integ( r^3.cos(t).sin(t).dt.dr)
    avec r : varie de 0 à 1 et t : varie de 0 à Pi/2
    le (4) parceque ce qu'on a entre (0,Pi/2) se reppette entre (Pi/2,Pi) et (Pi,3Pi/2) et enfin (3Pi/2,2Pi)

    integ( r^3.cos(t).sin(t).dt.dr) = (1/4).[1-0].(1/2).[1-0] =1/8 et donc le resultat finale est : (a^2.b^2)/2

  12. #11
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    merci javais fait une enorme faute dsl.mais bon je prefere la methode sans changement de variable meme si celle ci est tres pratique .

  13. #12
    nabil1235789

    Re : integrale double sur une ellipse

    bonjour
    no pb

  14. #13
    nabil1235789

    Re : integrale double sur une ellipse

    est ce que je peux voir ton travail

  15. #14
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    juste un dernier truc on peut calculer cette integrale double sans utiliser le changement de variable non ?

  16. #15
    nabil1235789

    Re : integrale double sur une ellipse

    bonsoir

    evidemment c'est possible

  17. #16
    nabil1235789

    Re : integrale double sur une ellipse

    bonsoir

    me revoila puisqu'il s'agit de l'integrale de valeure absolue du produit xy sur l'ellipse alos c'est quatre fois l'integrale sur le (1/4) de l'ellipse definit par x et y positives simultaniemment.
    I = integ(xydxdy) sur l'ellipse = 4.integ(xydxdy) sur le (1/4)de l'ellipse
    = 4.integ{x[integra(ydy)]dx} avec :
    x varie de 0 à a et y varie de 0 à b.[1 - x^2/a^2]^(1/2)

    donc I = 4.(b^2/2)ineg[x.(1- x^2/a^2)dx]
    integrale facile à calculer (genre f '.f)
    le reste est evident
    tout calcul fait on trouve: I = (a^2.b^2)/2

  18. #17
    invite77420056

    Re : integrale double sur une ellipse

    bonsoir quand tu ecrit I=4integ{x[integra(ydy)]dx} ca veux bien dire que on a 4 fois l'integrale par rapport a x de l'integrale par rapport a y.c'est ca non si ce n'est pas ca dis moi ce que cela veux dire stp.merci

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