moment d'inertie d'un tore avec intégrale
je dois calculer le moment d'inertie d'un tore engendré par un cercle de rayon R à la distance d de son axe de révolution et tout cela avec l'aide d'intégrales multiples. mais cela se révèle bien compliqué à trouver les bornes et a choisir entre coordonnées sphériques ou cylindriques;
si quelqu'un pourrait m'éclairer sur la solution merci bien
Salut
Je te conseille de décomposer le tore en éléments plus simples.
Le moment d'inertie d'un cercle est MR² où M est la masse et R le rayon. Tu intègres cette relation pour trouver le moment d'un anneau (j'ai trouvéoù R1 est le petit rayon, et R2 le grand rayon).
Ensuite tu intègres cela pour z variant de -R à R (l'axe z étant l'axe de rotation du tore) en sachant que pour z0 donné, l'intersection du tore avec le plan z=z0 est un anneau de petit rayon
J'ai essayé de faire le calcul mais j'arrive à une intégrale qui donne un résultat très compliqué...
Je tombe sur
Je me suis peut-être trompé (il est de toute façon temps d'aller se coucher) mais je pense que l'idée est là.
Bonjour,
Je reprends la demo. que j'avais donnée dans "physique" en ajoutant les calculs intermédiaires.
Le moment d'inertie du tore par rapport à son axe de révolution est (voir croquis) :
On arrive finalement à :
et comme la masse du tore est :
On obtient finalement :
A noter, qu'il y a une limite. Il faut :
Bon courage
Bien joué mécano41
J'ajouterais juste que j'ai également réussi à m'en tirer avec mon calcul: on a en fait
et on retrouve avec maple:
(à noter que j'ai utiliser la symétrie du tore par rapport au plan Oxy, ce qui a simplifié les calculs)
j'arrive a la meme égalité que toi supernico mais comment t'en sors tu pour ton intégrale suivante
Mon logiciel de calcul formel (maple) me donne:
Je pense que c'est très difficile de le trouver à la main...
Préfère la méthode de mécano41 à la mienne si tu dois tout faire à la main.
Salut,
Un ch'tit changement de variableJe pense que c'est très difficile de le trouver à la main...
Cordialement.
En effet martini_bird...
Je me suis laissé impressionné par la primitive que me donnait maple (qui prenait 3 lignes), mais par un changement de variable ça se fait en quelques lignes:
merci a tous g réussi a trouver la solution en passant par z=rcos(t)
et tout cela à la main alors après pas mal de lignes c'est fait.
maintenant il ne me reste plus que le moment d'inertie d'une demi plaque circulairecentré sur l'axe (x,y) et ce par rapport à O puis par rapport à l'axe x.
mais je pense que ceci serait plus aisé que le tore.
merci encore a tous
Qu'appelles-tu une demi-plaque circulaire?
Un dessin serait peut-être le bienvenu...
il s'agit simplemnt d'un demi cercle reposant sur l'axe des X et symétrique par rapport à y . l'énoncé dit demi plaque car je pense que l'on considère l'épaisseur comme nulle.
le problème est qu'il faut le calculer par rapport à o (origine du repère) puis par rapport à l'axe x
Je ne comprends pas ce que veut dire le moment d'inertie par rapport à un point...
Sinon, par rapport à l'axe des x ça doit pas être très compliqué... Est ce que mon dessin colle avec ce que tu veux?
j'ai donc trouver des réponses mais je trouve une réponse différentes pour les deux cas cela est il normale.
par rapport à O je trouve I=MR²/2
et par rapport à x I=MR/4
ya pas de dessin
Bonjour,
Je suppose que le moment d'inertie est a calculer par rapport à l'axe Oz perpendiculaire au plan de la plaque.
L'inertie est moitié de celle d'un cylindre. En considèrant la demi-plaque de rayon R, d'épaisseur h et de densité µ, le calcul s'effectue comme pour un cylindre mais en intégrant de 0 à
Je te laisse calculer ...
Cela donne :
et comme :
on a :
On retrouve bien la moitié de l'inertie d'un cylindre.
Pour l'inertie par rappport à Ox, tu dois pouvoir procéder par "empilage" de petites plaques, en calculant l'inertie d'une plaque ABCD, de largeur AB=h (c'est toujours l'épaisseur de ta demi-plaque), d'épaisseur dx, de longueur CD l'axe Ox étant perpendiculaire au plan de la plaque, au milieu de AB (fais un dessin!). Tu intègres par rapport à x de 0 à R avec :
Je n'ai pas fait le calcul
Bon courage
Bonjour,
Ci-dessus dans:
...Tu intègres par rapport à x de 0 à R avec :
Désolé, j'ai fait une erreur, ce n'est pas CD mais CB.
A bientôt
Décidément, je les accumule...il faut lire :Envoyé par mécano41
...
Je te laisse calculer ...
Cela donne :
et comme :
on a :
On retrouve bien la moitié de l'inertie d'un cylindre.
et comme :
on a :
On retrouve bien la moitié de l'inertie d'un cylindre puisque la masse M est la moitié de celle du cylindre entier.
Mille excuses et à bientôt
merci mécano c bien ce que je trouvais.
quelqu'un aurait il le centre de gravité du cone creux de hauteur h de grand rayon R et d'épaisseur e, car je trouve un résultats assez compliqué
excuse moi mecano41 pour la question que je t posé javai pa réfléchi
encore merci
bonsoir,
j'ai des problèmes à comprendre le théorème de THEVENIN.
vous pouvez m'aider svp.
