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moment d'inertie d'un tore avec intégrale



  1. #1
    timoun27

    Question moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    je dois calculer le moment d'inertie d'un tore engendré par un cercle de rayon R à la distance d de son axe de révolution et tout cela avec l'aide d'intégrales multiples. mais cela se révèle bien compliqué à trouver les bornes et a choisir entre coordonnées sphériques ou cylindriques;
    si quelqu'un pourrait m'éclairer sur la solution merci bien

    -----


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  3. #2
    supernico999

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Salut
    Je te conseille de décomposer le tore en éléments plus simples.
    Le moment d'inertie d'un cercle est MR² où M est la masse et R le rayon. Tu intègres cette relation pour trouver le moment d'un anneau (j'ai trouvé où R1 est le petit rayon, et R2 le grand rayon).
    Ensuite tu intègres cela pour z variant de -R à R (l'axe z étant l'axe de rotation du tore) en sachant que pour z0 donné, l'intersection du tore avec le plan z=z0 est un anneau de petit rayon et de grand rayon

    J'ai essayé de faire le calcul mais j'arrive à une intégrale qui donne un résultat très compliqué...
    Je tombe sur

    Je me suis peut-être trompé (il est de toute façon temps d'aller se coucher ) mais je pense que l'idée est là.

  4. #3
    mécano41

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Bonjour,

    Je reprends la demo. que j'avais donnée dans "physique" en ajoutant les calculs intermédiaires.

    Le moment d'inertie du tore par rapport à son axe de révolution est (voir croquis) :



















    On arrive finalement à :



    et comme la masse du tore est :



    On obtient finalement :



    A noter, qu'il y a une limite. Il faut :





    Bon courage
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  5. #4
    supernico999

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Bien joué mécano41
    J'ajouterais juste que j'ai également réussi à m'en tirer avec mon calcul: on a en fait et , ce qui donne:


    et on retrouve avec maple:


    (à noter que j'ai utiliser la symétrie du tore par rapport au plan Oxy, ce qui a simplifié les calculs)

  6. #5
    timoun27

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    j'arrive a la meme égalité que toi supernico mais comment t'en sors tu pour ton intégrale suivante

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    supernico999

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Mon logiciel de calcul formel (maple) me donne:


    Je pense que c'est très difficile de le trouver à la main...
    Préfère la méthode de mécano41 à la mienne si tu dois tout faire à la main.

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  10. #7
    martini_bird

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Salut,

    Je pense que c'est très difficile de le trouver à la main...
    Un ch'tit changement de variable et quatre ou cinq lignes de calculs...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    supernico999

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    En effet martini_bird...
    Je me suis laissé impressionné par la primitive que me donnait maple (qui prenait 3 lignes), mais par un changement de variable ça se fait en quelques lignes:






  12. #9
    timoun27

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    merci a tous g réussi a trouver la solution en passant par z=rcos(t)
    et tout cela à la main alors après pas mal de lignes c'est fait.
    maintenant il ne me reste plus que le moment d'inertie d'une demi plaque circulairecentré sur l'axe (x,y) et ce par rapport à O puis par rapport à l'axe x.
    mais je pense que ceci serait plus aisé que le tore.
    merci encore a tous

  13. #10
    supernico999

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Qu'appelles-tu une demi-plaque circulaire?
    Un dessin serait peut-être le bienvenu...

  14. #11
    timoun27

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    il s'agit simplemnt d'un demi cercle reposant sur l'axe des X et symétrique par rapport à y . l'énoncé dit demi plaque car je pense que l'on considère l'épaisseur comme nulle.

  15. #12
    timoun27

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    le problème est qu'il faut le calculer par rapport à o (origine du repère) puis par rapport à l'axe x

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  17. #13
    supernico999

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Je ne comprends pas ce que veut dire le moment d'inertie par rapport à un point...
    Sinon, par rapport à l'axe des x ça doit pas être très compliqué... Est ce que mon dessin colle avec ce que tu veux?
    Images attachées Images attachées

  18. #14
    timoun27

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    j'ai donc trouver des réponses mais je trouve une réponse différentes pour les deux cas cela est il normale.
    par rapport à O je trouve I=MR²/2
    et par rapport à x I=MR/4

  19. #15
    timoun27

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    ya pas de dessin

  20. #16
    mécano41

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Bonjour,

    Je suppose que le moment d'inertie est a calculer par rapport à l'axe Oz perpendiculaire au plan de la plaque.

    L'inertie est moitié de celle d'un cylindre. En considèrant la demi-plaque de rayon R, d'épaisseur h et de densité µ, le calcul s'effectue comme pour un cylindre mais en intégrant de 0 à :





    Je te laisse calculer ...

    Cela donne :



    et comme :

    on a :

    On retrouve bien la moitié de l'inertie d'un cylindre.

    Pour l'inertie par rappport à Ox, tu dois pouvoir procéder par "empilage" de petites plaques, en calculant l'inertie d'une plaque ABCD, de largeur AB=h (c'est toujours l'épaisseur de ta demi-plaque), d'épaisseur dx, de longueur CD l'axe Ox étant perpendiculaire au plan de la plaque, au milieu de AB (fais un dessin!). Tu intègres par rapport à x de 0 à R avec :

    Je n'ai pas fait le calcul

    Bon courage

  21. #17
    mécano41

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Bonjour,

    Ci-dessus dans:
    ...Tu intègres par rapport à x de 0 à R avec :

    Désolé, j'ai fait une erreur, ce n'est pas CD mais CB.

    A bientôt

  22. #18
    mécano41

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Citation Envoyé par mécano41

    ...

    Je te laisse calculer ...

    Cela donne :



    et comme :

    on a :

    On retrouve bien la moitié de l'inertie d'un cylindre.
    Décidément, je les accumule...il faut lire :



    et comme :

    on a :

    On retrouve bien la moitié de l'inertie d'un cylindre puisque la masse M est la moitié de celle du cylindre entier.

    Mille excuses et à bientôt

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  24. #19
    timoun27

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    merci mécano c bien ce que je trouvais.

    quelqu'un aurait il le centre de gravité du cone creux de hauteur h de grand rayon R et d'épaisseur e, car je trouve un résultats assez compliqué

  25. #20
    sam2b

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    excuse moi mecano41 pour la question que je t posé javai pa réfléchi
    encore merci

  26. #21
    bassobil

    Re : moment d'inertie d'un tore avec intégrale

    Merci beaucoup mécano41.grace à ton dévellopement j'ai pu comprendre un exo sur le tore.mais on me demande plutôt de donner la matrice d'inertie.je ne sais comment faire.Merci.

  27. #22
    yssf-jo

    le théorème de THEVENIN

    bonsoir,
    j'ai des problèmes à comprendre le théorème de THEVENIN.
    vous pouvez m'aider svp.

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