A quoi sert l'aire sous la courbe ?

[SPH]

Salut,
je n'ai pas fais d'etude superieure en math mais j'ai beaucoup lu de livres traitant de l'aire sous la courbe. Alors, j'ai etudié par moi meme l'aire sous la courbe allant de 0 a 1 de la fonction f(x)=x²
J'ai trouvé 4 facons de la calculer. Une aire minimum, une aire maximum, une aire moyenne minimum et une aire diagonale maximum.
J'ai calculé que l'aire allant de 0 a 1 sous la courbe est situé entre 0.3125 et 0.375. Est-ce exact ?
D'autre part, comme le dis le titre, a quoi ca a servi aux mathematiciens de calculer l'aire sous la courbe ?
(ps : une aire sous la courbe va t'elle d'office de 0 a 1 obligatoirement ?)
Merci
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[invite42f885fe]

C'est plutôt une question à poser partie maths du lycée ^^

L'intégrale vaut 1/3=0.33333....

Les intégrales, c'est de très longs chapitres de maths, alors en parler en quelques lignes...

Elles ne sont pas limités entre 0 et 1, comme elles ne sont pas limité sur R : on peut intégrer sur C, sur R²,R^3, etc. etc.

Sous réserve d'existence (il faut déjà que la fonction existe sur le domaine d'intégration ! puis il faut que son intégrale converge)

A quoi ça sert ? A s'amuser.
A pleins d'autres trucs accessoirement... thermodynamique, chimie, électromagnétique, électronique numérique, etc. etc. etc. ! C'est très utile.

Commence par regarder les intégrales de fonction de R dans R, et comprend la notion de primitive qui est essentielle pour calculer une intégrale.

Egalement savoir que la dérivée de l'intégrale d'une fonction continue f (de R dans R) entre 0 et x vaut f(x).

Sinon jète quand même un coup d'oeil à wikipédia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...%A9matiques%29

[SPH]

L'intégrale vaut 1/3=0.33333...

L'aire sous la courbe s'appelle donc integrale ?
ok : comment sait on que ca vaux 1/3 ? Car ce n'est pas evident au premier abord puisque c'est la somme infinie d'aires.

[inviteea028771]

On peut utiliser le théorème fondamental de l'analyse (rien que ça comme nom) :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...de_l%27analyse

Qui dit, en gros, que l'aire sous la courbe de f est donnée par une primitive de f

Comme une primitive de x² est , l'aire sous la courbe entre 0 et 1 est égal à (1/3 + c) - (0 + c) = 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa064e43]

accessoirement, si tu ne connais pas toutes ces notions, tu peux essayer d'approximer l'aire par des rectangles, ou des trapèzes, etc...

par exemple :
http://www.youtube.com/watch?v=vqSPGeYO2UA

tu peux essayer de chercher dces choses en français, il y e na des tonnes sur le net.

On appelle ça "intégrale définie" (definite integral), et la méthode d'approximer par des rectangles s'appelle l'intégrale de Riemann, la méthode de Riemann (ou encore les sommes de Darboux)
Et Archimède utilisait déjà la même méthode.


et sinon, pour te donner une idée de à quoi ça sert plus concrètement :

Imagine que tu traces une fcontion qui te donne la vitesse en fonction du temps.

imagine une voiture qui va à 50 km/h, vitesse constante.

Le graphique sera une constante, y=50
Si tu veux calculer la distance parcourue pendant, disons, 3 heures, tu va faire :

50*3

or, si tu regardes ton graphique, c'est comme si tu prenais l'aire entre ta courbe et l'axe des x de x=0 à x=3...

Si la vitesse est plus compliquée (par exemple si on branche un tachygraphe sur une voiture ou un camion), on aura une courbe vitesse plus compliquée. Il suffit de faire l'aire sous la courbe pour obtenir la distance parcourue.


Et après on peut généraliser ce passage "km/h en fonction des h -> Aire = nb de km" avec n'importe quel "taux".

Si ta courbe représente un débit d'eau, l'aire représentera la quantité d'eau. Si ta courbe représente un taux d'intérêt, l'aire représente en gros le profit que tu auras.

C'est ue des bases de tout calcul de loin ou de près scientifique. C'est la base de l'analyse mathématique. (d'ailleurs en anglais, calculer des intégrales s'appelle "Calculus")

[invitea86014ac]

comme une primitive de x² est , l'aire sous la courbe entre 0 et 1 est égal à (1/3 + c) - (0 + c) = 0

= 1/3 ......................

[inviteea028771]

= 1/3 ......................

C'était pour voir si vous suiviez...

[SPH]

par exemple :
http://www.youtube.com/watch?v=vqSPGeYO2UA

tu peux essayer de chercher dces choses en français, il y e na des tonnes sur le net.

Alors, s'il te plait, donne moi 2 ou 3 urls de choses en francais pour voir. Car je suis TRES interessé !!!!

[invite04c09029]

L'air sous la courbe est affectivement calculée par l'intégrale. C'est la définition même d'une intégrale. Ses utilités ?
Prenons le simple exemple des graphiques de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un objet uniformément accéléré. Si l'on dérive la courbe de la position en fonction du temps, nous trouvons la vitesse (qui est la pente de la courbe). Ensuite, si nous effectuons une nouvelle dérivée sur la droite qui nous indique la vitesse au cours du temps, nous obtenons l'accélération en fonction du temps (qui est constante dans ce cas-ci afin de simplifier le tout).

Supposons maintenant que tu veux trouver la vitesse via le graphique de l'accélération en fonction du temps. Le calcul pour y arriver est celui de l'air sous la courbe donc de l'intégrale. Alors l'intégrale de l'accélération donne la vitesse et l'intégrale de la vitesse donnera la position.

Voilà une des nombreuses applications des intégrales. Elles servent aussi à calculer des moments d'inertie (on parle ici souvent d'intégrale double), calculer des surfaces, des volumes (intégrales doubles et triples habituellement) et diverses autres choses.


EDIT: Désolé, je n'avais pas lu le passage où on en parlait
Et j'ajouterai, comme il a été dit, qu'il est fondamentale que tu saches la notion des primitives afin de pouvoir calculer tes intégrales. Si tu n'a pas de primitive à ton intégrale, tu devras connaitre les différentes méthodes pour calculer une intégrale (je pense ici au changement de variable, intégrale par partie, à un jacobien, remplacement par une identité trigonométrique s'il y a lieu, etc.)

[invitec3143530]

Vous dîtes avoir trouvé une méthode pour trouver l'aire minimum et l'aire maximum, c'est sans doute la "méthode des rectangles" dont le principe est simple :



Pour te documenter, cherches simplement "méthode des rectangles" sur google.


Sinon à quoi à ça sert ? Ben à calculer les aires de figures pour lesquels on n'a pas de formule

[invite04c09029]

Ou pour être plus précis! Mais en réalité, comme j'ai dit plus haut, ça sert bien plus qu'à calculer des aires et des volumes. Beaucoup de formules de la physique proviennent d'intégrale.
Si je pense par exemple à la Résistance des matériaux, il est possible de calculer des moments statiques, des efforts tranchants, des angles de torsion, etc., à l'aide d'intégrales. Ceci n'est que quelques exemples que j'ai pris d'un domaine qui touche mes études (génie civil).

[invitefa064e43]

Alors, s'il te plait, donne moi 2 ou 3 urls de choses en francais pour voir. Car je suis TRES interessé !!!!

http://lmgtfy.com/?q=int%C3%A9grale+...ann+vid%C3%A9o

ne le prend pas mal, hein

tu peux faire la même recherche sur Youtube directement (en enlevant le mot "vidéo".

ou "aire sous une courbe" etc...