Norme

[inviteec33ac08]

Bonsoir,
Voila on considere l^oo(N) l'ensemble des suites complexes bornées, on note pour U=(Un) appartenant à E, ||u||_oo=sup|Un| pour tout n entier naturel différent de 0. J'ai montré que ||.||_oo est une norme sur l^oo(N) maintenant je dois montrer que l^oo(N) est un espace complet muni de cette norme. Faut il définir une suite complexe bornée et montrer qu'elle converge ?
Merci
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[invite57a1e779]

Il faut considérer une suite à termes dans ; c'est le terme général lui-même est une suite complexe, c'est-à-dire une application de dans : .
Il faut supposer que la suite est une suite de Cauchy pour la norme de :



avec

Et il faut prouver que la suite converge dans , c'est-à-dire prouver qu'elle a une limite .

Il faut donc construire une suite à termes complexes bornée telle que tende vers 0 quand tend vers l'infini