bonsoir,
j'aurai besoin d'aide pour cet exo:
Soient H1 et H2 deux hyperplans distincts d'un ev E de dimension finie n.
1) Prouver que n>=2
2) montrer que dim(H1 inter H2)=n-2
Pour la 1) c'est bon
pour la 2) je pense pense que le mieux est de montrer E=H1+H2 puis utiliser la formule de grassman. Ce pendant je n'arrive pas à montrer que E=H1+H2 j'ai pensé à faire une double inclusion mais je n'y arrive pas
merci de votre aide
Quelle peut bien être la dimension de H1+H2 ?
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
moi je dirai n mais comment le prouver?
sinon j'ai pensé à utiliser H1+H2=Vect{H1 U H2} et vu que les hyperplan sont distincts la famille qui génère l'union est libre donc la dimension est n
Il faut bien comprendre que :.
Cela laisse peu de possibilités pour la dimension de
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
dim(H1+H2)=dimE
Mais ne faut il pas montrer l'inclusion E inclus dans H1+H2
A partir du moment où tu as l'inclusion :
– ou bien avec l'autre inclusion :
– ou bien avec l'égalité des dimensions :
Il faut prouver proprement que
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
attend je n'ai pas tout compris
dans mon cours on dit que F inclus dans E et dim E= dimF entraine F=E
on ne peut pas dire que H1+H2 est l'union de 2 hyperplans.
une base de H1 est de dimension n-1 et H2 aussi. et comme les 2 plan sont distincts la dimension de H1+H2 est n?
Oui, et tu l'utilises avec F=H1+H2.Envoyé par 369
H1+H2 est la somme de deux hyperplans, pas la réunion. H1+h2 contient la réunion, mais n'est pas la réunion : la somme de deux droites, c'est le plan qui les contient, ce n'est pas la réunion des deux droites.
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
j'aurai encore une question:
comment sait tu que H1+H2 inclus dans E?
sinon pour l'inclusion dans l'autre je prend un x dans H1+H2 donc x=x1+x2 avec (x1,x2)H1xH2
mais après je vois pas comment montrer x dans E
x1 et x2 appartiennent à E, donc leur somme aussi
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
j'aurai encore une question
comment savoir quand on peut faire par une équivalence?
Par exemple ici est ce que je peux faire:
x dans H1+H2 ssi x=x1+x2 avec x1 dans H1 ssi x dans E car H1 et H2 sont dans E
[QUOTE
2) montrer que dim(H1 inter H2)=n-2
Pour la 1) c'est bon
pour la 2) je pense pense que le mieux est de montrer E=H1+H2 puis utiliser la formule de grassman. Ce pendant je n'arrive pas à montrer que E=H1+H2 [/QUOTE]
Il y'a une autre méthode pour démontrer directement le résultat.
Posons f1 et f2 deux formes linéaires de E tels que H1=kerf1 et H2=kerf2. Le théorème de Riez assure qu'il existe des uniques a et b non nulles de E tq f1=fa: x-> <a,x> et f2=fb: x-> <b,x>.
Si {a,b} liée, les formes linéaires seront proportionnelles et donc H1=H2 ce qui est absurde..
{a,b} est donc libre. Il faut la compléter en une base orthonormée (a,b,e3,...,en). pour tout x de H1interH2, la projection sur a et b est nulle -> (e3,...,en) génératrice de H1interH2. Elle est aussi libre par construction.
D'ou le résultat.
merci de ta réponse
mais ce que j'aimerai surtout savoir c'est si mon équivalence est bonne?
