base d'une intersection

[invite371ae0af]

bonsoir,
pouvez vous m'aider pour la dernière question de cet exo:
u1=(1,0,1,2) u2=(1,1,0,3) 2 vecteurs de R^4 tel que E={u1,u2}
v1=(2,5,1,1) v2=(1,3,0,1) v3=(1,1,1,1) et F=(v1,v2,v3}
Donner une base de F et une base pour E inter F

Pour la base de F c'est bon
maintenant pour trouver une base de E inter F j'ai pensé à chercher la dimension de E inter F grâce à dim(F+E)=dimF+dimE-dim(F inter E)
F+E=Vect<u1,u2,v1,v2,v3>
je veux montrer que la famille {u1,u2,v1,v2,v3 } est libre ou autre chose {u1,...}
Le problème est que je ne vais pas résoudre plein de systèmes pour prouver quand cette famille est libre.
y a t il un moyen plus rapide?



merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Le plus simple :

Tu considères un vecteur au₁+bu₂ de E, et tu cherches à quelle condition sur a et b ce vecteur appartient à F.
Tu détermines ainsi les vecteurs de l'intersection, et tu auras facilement une base.

[invite371ae0af]

merci, je vais essayer ca

[invite371ae0af]

j'ai finalement trouver comme vecteur qui appartient à l'intersection
x=(-8/9)u2
donc une base ce vecteur

mais il y a quelque chose que je ne comprendre pas :
des fois quand on cherche l'ensemble du noyau ou de l'image on peut utiliser le vect
mais ici je ne peux pas le faire, pourquoi? parce que x est un vecteur et non un ensemble comme le vect
parce que la définition définition est quelque soit x dans vect{u2} il existe a1=-8/9 tel que x=(-8/9)u2

[A voir en vidéo sur Futura]