Intersection de cercles à la surface d'une sphère

[invite5f0e335f]

Bonjours tout le monde!

Voilà, j'ai une sphère : la terre,
Deux cercles à la surface de cette sphère, identifés par leur latitude et la longitude et leur rayon.
Ensuite, ce que j'aimerais, c'est calculer l'intersection de ces deux cercles.
Est ce que vous auriez des informations à ce sujet?
J'ai déjà les calculs pour l'intersection sur un repère orthonormé je pense qu'on doit pouvoir les transposer mais je ne vois pas comment.
Si vous avez des idées, je suis preneur.

Merci
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[invite5c27c063]

Voilà, j'ai une sphère : la terre,
Deux cercles à la surface de cette sphère, identifés par leur latitude et la longitude et leur rayon.

Je ne vois pas bien comment tu definis tes cercles... Quel point designe-t-on par latitude/longitude ? (le centre du cercle, un point du cercle... ?)

Si tu designe un cercle seulement par la latitude, ca veut dire que c'est un parallele et si tu peux en designer un autre seulement par la longitude, c'est un meridien. Ce sont des cas particuliers tres restrictifs mais qui simpliefieraient considerablement le probleme...

Peux-tu preciser ?

[invite5f0e335f]

Alors les latitude et longitude désigne les centre des cercle. j'ai aussi le rayon des cercle.
Pour le moment j'ai essayer de transposer les coordonnées géographique en coordonnée cartésienne. et de faire mes calculs en cartésien puis de transposer les résultat vers les coordonnées géographique. Le seul soucis c'est que j'ai un delta entre les résultats et les la réalité.
Je ne sais pas trop d'ou vient le souics.
Je pense que ca doit venir de la conversion entre les coordonnée sphérique et les coordonnées Géographique de Gmaps.

Mais si vous avez des équation simple à mettre en oeuvre pour le calcul des points d'intersection entre deux cercles à partir des coordonnées de leur centre et de leur rayon. Je suis preneur.

merci

[invite5c27c063]

j'ai aussi le rayon des cercle.
(...)

j'ai un delta entre les résultats et la réalité.
Je ne sais pas trop d'ou vient le souics.

Une piste eventuelle pour expliquer ces differences :

Si on se donne un point sur la sphere comme centre du cercle, le cercle de centre ce point et d'axe la droite entre le centre de la Terre et le centre du cercle est inscrit dans un plan tangent a la sphere. C'est ce qui me parait le plus simple a ecrire mais du coup, le cercle est au dessus du sol.

Si on prend le rayon depuis le centre et un point du cercle en restant sur la sphere, le centre geometrique du centre est legerement sous terre en une position a determiner et avec un rayon "en ligne droite" legerement inferieur a celui que tu as en longeant la sphere.

Je ne serais pas etonne que ton calcul a la main utilise la premiere approche (c'est plus simple) et GMaps la deuxieme (c'est plus logique pour une application geographique)

Mais si vous avez des équation simple

Non, je n'en ai pas... Cela restera de le geometrie dans l'espace avec de la trigo dans tous les sens...

Pour regler la question des intersection, il reste donc a preciser plus finement comment on definit les cercles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4446325f]

Salut,

On peut considérer un cercle sur une sphère comme l'intersection de la sphère avec un cône de sommet 0 centre de la sphère, d'axe a et d'angle d'ouverture .

Le calcul se simplifie si tu considères qu'un des cercles est un parallèle de la sphère (tous ces points ont la même latitude), on peut toujours se ramener à ce cas par une rotation.

Donc plaçons-nous dans le cas où un des cercles C1 est le parallèle de latitude . Les coordonnées géographique de l'axe du second cercle C2 sont ou en coordonnées cartésienne a=(a1,a2,a3) et son ouverture est .

Par C2 passe un plan P dont l'axe a est un vecteur normal et il a pour équation:
a1x1 + a2x2 + a3x3 -cos( )= 0 (1)

M=(x1,x2,x3) appartient à C1 et C2 ssi:
M est dans le plan P condition (1) et qu'il appartient à la sphère ce qui se traduit par
x1=cos()cos()
x2=cos()sin()
x3=sin()
condition (2) où est la longitude d'intersection

En Injectant la condition (2) dans (1) et on obtient l'équation d'intersection d'inconnue :
a1cos()cos() + a2cos()sin() + a3sin() -cos( )= 0

en posant X=cos() on obtient un équation du second degré, qui 0, 1 ou 2 solutions comme le nombre de cas possible d'intersection entre 2 cercles

I can see clearly from my diamond eyes
I'm going to the mountain with the fire spirit
No one will accept all of me
So the fire will stop