Sup_Inf d'une fonction spéciale

[invite4b03bb8f]

Bonjour à toutes et à tous. Je travaille sur un papier de recherche et j'ai besoin d'aide sur la question suivante. Merci par avance pour les réponses.

Étant donné une fonction quelconque $h(x,y)$ définie sur un ensemble $X\times Y$ à valeurs réelles.

Pour chaque $x$ dans $X$ et $D=D_1\times D_2$ un sous ensemble de $X\times Y$. Considérons la fonction suivante.

F(x,D)=\underset{d_2\in D_2}\Inf H(x,d_2)-\underset{d_1\in D_1}\Sup\;\underset{d_2\in D_2}\Inf H(d_1,d_2)

Soit $x_1,x_2\in X$, $A=A_1\times A_2$, $B=B_1\times B_2$ deux sous-ensembles non vides de $X\times Y$ tel que $C=A\cap B\neq\emptyset$, (i.e. $A$ intersection $B$ est non vide).

Question: Si $F(x_1,A)>0$ et $F(x_2,B)>0$, alors $F(x,C)>0$, pour tout $x\in\{x_1,x_2\}$ ????????
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[invite4b03bb8f]

Bonjour Cher internaute,

Pour le problème posé, sincèrement je ne sais pas comment le démontrer si la réponse est positive ou non ! Car j’essaye depuis une vingtaine de jours mais toujours rien. J’essaye en parallèle de construire un contrexemple en vain.

Donc si vous avez une piste qui pourra m'aider, il faut pas hésiter!

J'attends vos réponse impatiemment.

Merci par avance.

[invitea07f6506]

Sans hypothèse supplémentaire, ça m'a l'air faux.

Contre-exemple : je prends , et .

Je pose , et . Alors pour tout on a .

Maintenant, je prends et . On calcule :

[invite4b03bb8f]

Merci Garf pour la réponse,

Désolé mais j'ai oublié de préciser que les ensemble D, A et B sont des voisinages ouverts.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea07f6506]

On peut adapter le contre-exemple sans trop de soucis pour satisfaire cette condition, non ?

[invite4b03bb8f]

Merci Garf pour la réponse,

Désolé mais j'ai oublié de préciser que les ensemble D, A et B sont des voisinages ouverts.

je suis entrain de voir, mais pas évident.

[invitea07f6506]

Pas évident à faire explicitement, d'accord. Pas évident à faire, non.

Première remarque : je peux changer mon exemple de telle sorte que l'on ait :









Il suffit par exemple de prendre et , ainsi que et .

Maintenant, vu que la distance est continue, si je remplace par un petit voisinage ouvert de , puis par un petit voisinage de , et ainsi de suite, on vérifie que les valeurs de , (et ainsi de suite) que j'ai données ci-dessus sont changées par un facteur qui peut être pris aussi petit que souhaité (il n'y a qu'à réduire les voisinages). En particulier, si les voisinages sont pris assez petits, on a toujours :

[invite4b03bb8f]

Non dès que tu pends des voisinages ouverts, ton exemple ne marchera plus.

Pas évident à faire explicitement, d'accord. Pas évident à faire, non.

Première remarque : je peux changer mon exemple de telle sorte que l'on ait :









Il suffit par exemple de prendre et , ainsi que et .

Maintenant, vu que la distance est continue, si je remplace par un petit voisinage ouvert de , puis par un petit voisinage de , et ainsi de suite, on vérifie que les valeurs de , (et ainsi de suite) que j'ai données ci-dessus sont changées par un facteur qui peut être pris aussi petit que souhaité (il n'y a qu'à réduire les voisinages). En particulier, si les voisinages sont pris assez petits, on a toujours :

[invitea07f6506]

Premièrement : je m'excuse, mon exemple précédent est faux (erreur d'inattention). Voici un version corrigée.


Prenons et , ainsi que et . Alors . On calcule :










Deuxièmement : j'ai donné dans mon message précédent un argument. Il est peut-être faux, mais il est plus vraisemblablement correct. Si tu penses qu'il est faux, explique pourquoi. En mathématiques, un "non mais ça ne marche pas" n'est pas un argument.