Intersection des ouverts dans la définition d'une topologie

[Seirios]

Bonjour à tous,

En considérant un ensemble X, on définit une topologie sur X par un ensemble O de parties de X tel que :

• (i)
• (ii) L'intersection de deux éléments de O est dans O.
• (iii) Une union d'éléments de O est dans O.

(L'appartenance de l'ensemble vide à O est en fait une conséquence de (iii), mais je ne sais pas trop pourquoi, la plupart du temps il est tout de même mis dans les axiomes.)

Dans certains ouvrages, on remplace l'axiome (ii) par : (ii') Toute intersection finie d'éléments de O est dans O.

Je pensais que les axiomes (ii) et (ii') étaient équivalents, puisque trivialement (ii') implique (ii) et qu'un raisonnement par récurrence permet d'obtenir (ii') à partir de (ii). Mais j'ai lu dans le Bourbaki de topologie générale que (ii') est en fait équivalent à (ii) et .

Mais je ne vois pas vraiment l'équivalence ici...C'est surtout le qui me rend perplexe, je ne vois pas en quoi il est utile.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite986312212]

c'est sans-doute que quand Bourbaki parle d'intersection finie, il inclut le cas de l'intersection d'un ensemble vide d'ouverts. Bon, c'est du pinaillage bien dans le style de cet auteur.

[invited7441b93]

Peut-être cela provient de l 'associativité de l' intersection

[Seirios]

c'est sans-doute que quand Bourbaki parle d'intersection finie, il inclut le cas de l'intersection d'un ensemble vide d'ouverts.

Je n'avais jamais remarqué que ...Effectivement, en prenant en compte ce cas, je vois bien pourquoi il y a équivalence. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite25cbd5d2]

(L'appartenance de l'ensemble vide à O est en fait une conséquence de (iii), mais je ne sais pas trop pourquoi, la plupart du temps il est tout de même mis dans les axiomes.)

Une conséquence du (iii) ? j'aurais plutôt dit (ii). Aussi il me semble qu'on retrouve la même chose (une condition/axiome superflue qui se déduit des autres) dans la définition de deux suites adjacentes.

[erik]

Une conséquence du (iii) ? j'aurais plutôt dit (ii).

Ah bah moi du coup, je ne vois pas en quoi le fait que l'ensemble vide appartienne à O est une conséquence de (ii) ou de (iii).
Peut être que quelque chose m'échappe ?

[invite25cbd5d2]

Si deux parties n'ont pas d’éléments en commun leur intersection est l'ensemble vide.

[erik]

message à supprimer.

[invite9c9b9968]

Bonjour,

L'axiome (iii) est, un peu plus rigoureusement, le suivant : "pour toute famille dénombrable ou non d'ouverts, l'union de ces ouverts est encore un ouvert"

A partir du moment où je choisis une famille d'ouverts indexés par l'ensemble vide, j'ai bien comme union d'ouverts l'ensemble vide (puisque il n'y a pas d'ouverts dans ma famille). Donc l'ensemble vide est un ouvert.

Cordialement,

G.

[Seirios]

Aussi il me semble qu'on retrouve la même chose (une condition/axiome superflue qui se déduit des autres) dans la définition de deux suites adjacentes.

Oui, on donne souvent la condition (à partir d'un certain rang), alors qu'elle se déduit de la différence de monotonie et de la limite nulle de .

Il y a également un cas semblable dans un énoncé sur les séries (le théorème d'Abel il me semble), où l'on suppose qu'une suite est positive, décroissante et tend vers zéro, alors que la positivité se déduit des deux autres conditions.

[Seirios]

L'axiome (iii) est, un peu plus rigoureusement, le suivant : "pour toute famille dénombrable ou non d'ouverts, l'union de ces ouverts est encore un ouvert"

Pourquoi plus rigoureusement ? A priori, si l'union est quelconque, cela signifie qu'il s'agit de l'union d'une famille indexée par un ensemble quelconque, non ?

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Pourquoi plus rigoureusement ? A priori, si l'union est quelconque, cela signifie qu'il s'agit de l'union d'une famille indexée par un ensemble quelconque, non ?

Bien sûr mais je trouvais ton énoncé trop imprécis, il y manquait justement le mot "quelconque"

Cordialement,

G.