bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour démarrer cet exercice:
Soit n>=2 et soit A dans Mn(R) une matrive telle que quelque soit M dans Mn(R)
det(A+M)=detA + detM
Prouver que A=0
j'ai commencé par étudier le cas M=A puis lorsque M différent de A raisonner par l'absurde. Cependant je ne vois pas comment faire
merci de votre aide
Bonjour,
1. Le cas particulier M=A fournit la valeur de detA.
2. Tu te débrouilles pour fabriquer une matrice M inversible telle que A+M ne soit pas inversible.
voilà ce que j'ai fait
supposons A non nul alors A est inversible
je prend A=In
et M une matrice avec des 1 partout et des 0 sur la diagonale. M est inversible
A+M est une matrice avec des 1 partout et elle est non inversible
donc contradiction avec det(A+M)=detA + detM
est ce bon?
Non. Les matrices carrées d'ordre n sur R ne forment pas un corps. Tu as dû prouver que det(A) = 0. Donc A n'est pas inversible.Envoyé par 369
non je n'ai pas prouvé detA=0
j'ai fait 2 parties une quand M=A et l'autre
de plus je ne vois pas pourquoi le cas A=M irait avec l'autre partie
en gros j'ai distinguer 2 cas qui pour moi n'ont aucun lien entre eux
Tu n'as visiblement pas compris l'énoncé. A est fixe. Et tu sais que :
Si tu prends, alors :
Maintenant tu dois montrer que A est la matrice nulle. Tu raisonnes par l'absurde et tu supposes que A n'est pas la matrice nulle. Tu dois trouver une matrice M telle que, A+M soit non inversible et M soit inversible. Tu auras alors une contradiction puisque tu sais que :
Ceci veut dire que la matrice A est solution d'une infinité d'équations.
Bien évidemment, pour déterminer A, on ne va utiliser qu'un nombre fini de ces équations, c'est-à-dire des valeurs particulières de la matrice M.
Tout d'abord, si les matrices sont de tailles 1 : A=(a11) et M=(m11), alors l'égalité des déterminants est toujours vraie.
On suppose désormais les matrice de taille n>1.
La première valeur particulière que je te propose pour M est M=A.
Ce qui conduit à l'égalité det(A+A)=det(A)+det(A), c'est-à-dire à 2ndet(A)=2det(A) dont on déduit que det(A) est nul.
La relation satisfaite par la matrice A est alors det(A+M)=det(M) pour toute matrice M.
Je te propose de raisonner par l'absurde : tu supposes A non nulle, et tu construis une matrice M inversible avec A+M non inversible, tu auras alors det(A+M) nul et det(M) non nul, d'où la contradiction.
est ce que je peux M sous forme d'une matrice par bloc
A=
0 D
D 0
M=
D 0
0 D
avec D non nulle
A+M=
D D
D D
On a prouvé que ce A s'il existe est de déterminant nul.
Soit A de rang r, A=P.J
det( M + P.Jr.Q ) = det(M), donc : det(P).det(P.M.Q + Jr ).det(Q) = det(M).
Avec M=P-1.Q-1 : det(In+.J
Si r >= 1, det(In+Jr)=2 : impossible.
Alors r = 0, donc A nulle.
Bon courage.
pourquoi A peut s'écrire sous la forme
A=P.Jr.Q
et quelles sont les valeurs de ces matrices?
Bonsoir,
Définition :
toute matrice de rang r dans M (n,p)
est équivalente à une matrice Jr = (1,...,1 00...000) avec 1repete r fois sur la diagonale , ainsi : Jr = Q-1A. P
L'existence de P et Q est prouvée par la définition.
Cordialement,
merci je ne connaissais pas la définition
Je t'en prie, il y'a une autre démonstration mais que je n'arrive pas a me rappeler. Je te l’écrirai quand ce serait propice
A bientôt,
