Série de Fourier

invitee791e02a · 18/04/2011, 12h01

Bonjour,

Voila j'ai une question sur le théorème de Dirichlet:
Si f est pèriodique de pèriode T et est C¹ par morceaux sur tout un segment de longueur T, alors la série de Fourier de f est convergente et sa somme vérifie:
pour tout t réel, S(t)= $\frac{f(t_-)+f(t_+)}{2}$
De plus, la convergence est normale sur tout segment ou sur R si f est continue sur R.

Voila je ne comprends pas pourquoi on a besoin que f soit C¹ par morceaux j'aurai pensé uniquement continue par morceaux. Merci

**Tiky** · 18/04/2011, 12h24

Si f est juste continue par morceaux, tu n'es même pas sûr que la série de Fourier sera convergente.

invitee791e02a · 18/04/2011, 12h29

Merci à toi, mais alors si elle est C1 par morceaux qu'est ce qui nous dit qu'elle converge ?

invite9a322bed · 18/04/2011, 13h18

Tu dois être surement en prépas.
Les démonstrations ne sont pas au programme. Par contre j'imagine que C1 par morceau, va servir pour utiliser l'inégalité des accroissements finies.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitee791e02a · 18/04/2011, 16h52

Salut,
Oui je suis en prépa. Tu as surement raison l'inégalité des accroissement finis doit se cacher derrière tout sa

en y réfléchissant c'est la seule possibilité que je vois.

invitebe08d051 · 18/04/2011, 16h53

Salut,

En fait, la démonstration dans le cas de la convergence normale est (plus ou moins) simple:

On a : $c_n(f)= \frac{1}{in} c_n(f')$
Le fait que $f'$ est continue pm assure que $(c_n(f'))$ est à carré sommable (Parseval), aussi $(\frac{1}{n})$ est à carré sommable.
On en déduit (simple inégalité) que $(c_n(f))$ est sommable.

Ensuite, il suffit de majorer le terme général de la série de Fourier par $|c_n(f)|+|c_{-n}(f)|$ qui est le terme général d'une série convergente.

D'où la convergence normale, puis on utilise le fait qu'on a toujours la convergence au sens de la norme 2, pour prouver que la série converge vers $f$ .

Dans le cas de la convergence simple, la démo est plus délicate, on utilise la formule du noyau de Fejer/Dirichlet.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_Fourier%29

Héy mx6 ça fait un bail !!

**acx01b** · 18/04/2011, 17h34

salut

moi je pense à ce théorème : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...emann-Lebesgue (plutôt qu'à perseval).

Par contre ça n'aide que si on peut majorer (ici $g = f'$ ) les coefficients de Fourier $c_n(g)$ qand $n \to \infty$

Ma question : peut-on majorer (ici $g = f'$ ) les coefficients de Fourier $c_n(g)$ qand $n \to \infty$ quand on sait que $g$ est continue par morceau sur $[0;T]$ ?

(Le théorème que j'ai cité dit que les coefficients tendent vers 0 car la fonction est finie sur [0;T], mais la continuité devrait permettre de majorer les coefficients)

invitebe08d051 · 18/04/2011, 21h27

Envoyé par acx01b

moi je pense à ce théorème : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...emann-Lebesgue (plutôt qu'à perseval).

Oui bien sur, le passage par ce théorème dans le cas où on veut prouver la convergence simple est essentiel. C'est d'ailleurs signalé dans le lien wiki que j'ai donné plus haut.

Série de Fourier