Développement limité

[invite312e42f4]

Bonjour voilà j'ai récupéré la cahier de colle d'un autre trinôme pour pouvoir m entrainer malheureusement je n'arrive pas a faire cet exercice et l'élève en question ( qui a eu ça en colle ne parvient pas a me l'expliquer )

Voilà on nous donne l'équation suivante: x^n e^x = 1

On nous demande de montrer que cette équation admet une unique solution notée x indice n
( jusque la pas de soucis !! On dérive et on étudie ...)

On doit ensuite montrer que la Solution x indice n tend vers 1 quand n tend vers plus l'infini ( pas dur il suffit de se servir du tableau fait précédemment ... )

Mais ensuite je suis perdu l'on nous demande " un DL6 de x indice n en fonction des puissance de 1/n quand n tend vers + l'infini"
( ici tout ce que leleve a réussi a me dire est confu et je ne suis pas le raisonnement il a juste retenu des petits morceaux da sa colle : il semblerai que la clé soit décrire exp (x) = x^( -n)
Et après je dirai que le dl 1 est x indice n = 1 + o ( 1/n )
Mais je ne sais pas comment passer au dl 2 jusqu'au dl 6 il ma dit que c'était une méthode facile mais je ne vois rien :/


Merci d'avance toute aide est utile
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[invite57a1e779]

Voilà on nous donne l'équation suivante: x^n e^x = 1

On nous demande de montrer que cette équation admet une unique solution notée x indice n
( jusque la pas de soucis !! On dérive et on étudie ...)

Pour l'unicité, il faut tout de même préciser « racine positive ».

On a tout simplement : , donc : .

La restriction de la fonction définie par à des intervalles bien choisie est bijective et de classe .

D'où une bijection réciproque également de classe telle que : ce qui assure, via la formule de Taylor-Young, l'existence d'un développement de à tout ordre.

On détermine ce développement par la méthode des coefficients indéterminés à partir de la relation : .