Section holomorphique

[invite401b9562]

Bonjour amis mathématiciens,

Je suis en train de regarder les espaces de kahler spécial, mais je ne comprend pas la définition...

En fait il définissent un section holomorphique avec M ma variété kahlerienne et H euh... un faisceau tensoriel...

Bref, je ne recherche pas a comprendre en détail tout ça, je voudrais simplement comprendre pourquoi ils écrivent :


ps: V est un vecteur colonne, juste eu la flemme de rechercher comment on fait en latex


Qu'est ce que XA et FA ? des coordonnées ? sur quel espace ?

Je vourdrais simplement expliquer que pour une variété spécial kahlerienne, le potentiel de kahler est définit par le prépotentiel F avec



Mais si je comprend pas ce que c'est F^A et X^A...

Merci a ceux qui prendrons le temps de m'expliquer.
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[invite401b9562]

Bon en relisant, je crois que j'ai compris deux trois truc !

Ils note une "line bundle" (un faisceau ligne ? une section donc non ?)

et un "vector bundle" (un faisceau vecteur ? lol )

Ensuite il construise H par le produit tensorielle de L avec SV !

Donc, donc, comment a partir de là on peut écrire V comme plus haut ?

Une ptite explication

[invite401b9562]

Je remonte le sujet pour ce long week end de paque

En fait mes questions sont :

Qu'est ce qu'un faisceau ligne ? vecteur? tensoriel ?

Et comment obtient on la section holomorphique ?

Un faisceau ligne est ce une section ?

merci

[taladris]

Je remonte le sujet pour ce long week end de paque

En fait mes questions sont :

Qu'est ce qu'un faisceau ligne ? vecteur? tensoriel ?

Et comment obtient on la section holomorphique ?

Un faisceau ligne est ce une section ?

merci

Salut,

commençons déjà par le vocabulaire:
"fiber bundle" se traduit généralement par fibré (localement trivial).
Un faisceau s'appelle "sheaf" en anglais.
Ensuite, "line bundle"=fibré en droite et "vector bundle"=fibré vectoriel.

Pour les définitions, c'est assez compliqué. En gros, un fibré est la généralisation topologique de la notion de produit cartésien et de revêtement.

Plus précisément, un fibré localement trivial est la donné de 3 espaces vectoriels E,F et B et d'une application continue surjective f de E sur B telle que pour tout b dans B, il existe un voisinage ouvert U de b et un homéomorphisme de sur tel que ( est la projection sur le premier facteur).

On dit que B est la base du fibré, E son espace total, F sa fibre et f sa projection.

La définition signifie que localement B ressemble à un produit cartésien. Une section (globale) est une application continue s de B dans E vérifiant .

Ensuite, on peut modifier la définition de plein de manières pour obtenir différents types de fibrés. Par exemple, si E,B,F peuvent être muni de structure de variétés (, ou complexe), on va imposer que et que les sections soient , ou holomorphes (suivant les cas).

On peut aussi imposer des restrictions sur F. Par exemple, si F est discret, on retrouve la notion de revêtement. Si F est un espace vectoriel, on obtient un fibré vectoriel. Cas particulier, si F est un ev de dimension 1, on parle de fibré en droite. Le fibré tangent d'une variété est un cas particulier de fibré vectoriel.

Les possibilités sont presque infinies. Pour des références, tu peux regarder sur Wikipedia. Sinon, le livre de Steenrod ou celui de Husemoller (tous deux intitulés "Fiber bundle" je crois) sont incontournables.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

...tel que ( est la projection sur le premier facteur).

Il faut bien sûr lire:

[invite401b9562]

Salut,

commençons déjà par le vocabulaire:
"fiber bundle" se traduit généralement par fibré (localement trivial).
Un faisceau s'appelle "sheaf" en anglais.
Ensuite, "line bundle"=fibré en droite et "vector bundle"=fibré vectoriel.

Salut,

D'abord merci de m'avoir rep !
Oui si déja je part avec les mauvaise traduction... En fait j'ai des notions en géométrie différentielle, et je sais par exemple ce qu'est un fibré, mais "fibré en droite" ??!!

Pour les définitions, c'est assez compliqué. En gros, un fibré est la généralisation topologique de la notion de produit cartésien et de revêtement.

Plus précisément, un fibré localement trivial est la donné de 3 espaces vectoriels E,F et B et d'une application continue surjective f de E sur B telle que pour tout b dans B, il existe un voisinage ouvert U de b et un homéomorphisme de sur tel que ( est la projection sur le premier facteur).

On dit que B est la base du fibré, E son espace total, F sa fibre et f sa projection.

Ok oui je connais en effet cette définition.

Une section (globale) est une application continue s de B dans E vérifiant .

Toujour d'accord^^

Ensuite, on peut modifier la définition de plein de manières pour obtenir différents types de fibrés. Par exemple, si E,B,F peuvent être muni de structure de variétés (, ou complexe), on va imposer que et que les sections soient , ou holomorphes (suivant les cas).

On peut aussi imposer des restrictions sur F. Par exemple, si F est discret, on retrouve la notion de revêtement. Si F est un espace vectoriel, on obtient un fibré vectoriel. Cas particulier, si F est un ev de dimension 1, on parle de fibré en droite. Le fibré tangent d'une variété est un cas particulier de fibré vectoriel.

Les possibilités sont presque infinies. Pour des références, tu peux regarder sur Wikipedia. Sinon, le livre de Steenrod ou celui de Husemoller (tous deux intitulés "Fiber bundle" je crois) sont incontournables.

Cordialement

D'accord je crois que j'ai bien compris.

Si je reprend mes notation, L serais un espace vectoriel de dim 1.
Donc aprés, comment on obtient ma section V ? A quoi peuvent correspondre les coordonnées X^a et F^a ? sachant que pour une variété complexe de dim 2n, on a a=1,...,n.

[taladris]

Salut,

Si je reprend mes notation, L serais un espace vectoriel de dim 1.

Pas tout à fait. Si je comprends bien les notations, si L est un fibré en droite au dessus de M, alors chaque fibre est une droite.

Donc aprés, comment on obtient ma section V ? A quoi peuvent correspondre les coordonnées X^a et F^a ? sachant que pour une variété complexe de dim 2n, on a a=1,...,n.

Je ne suis pas sûr. Souvent, si est un élément de , on note pour la somme et pour simplifier l'opérateur . Je pense que c'est ce genre de notation qui est utilisé.

[invite401b9562]

.
Je ne suis pas sûr. Souvent, si est un élément de , on note pour la somme et pour simplifier l'opérateur . Je pense que c'est ce genre de notation qui est utilisé.

Salut,

Euh je met le lien d'une des textes que j'étudie, peut etre ce sera plus clair, car ce que tu me dit là, je n'arrive pas a faire le lien avec ce qui est dit dans mes lectures.

http://people.maths.ox.ac.uk/hausel/m392cr/dinapoli.pdf

chapitre 3.2 la definition 12.

merci encore j'y vois déja un peu plus clair quand meme.

[invite401b9562]

Je me permet de remonter le sujet car bien que je n'y ai pas encore retouché, j'espere encore obtenir des éclaircissement dessus.

Le document fournit au message précédent permettra sans doute de mieux isolé mon probléme...

[taladris]

Salut,

Euh je met le lien d'une des textes que j'étudie, peut etre ce sera plus clair, car ce que tu me dit là, je n'arrive pas a faire le lien avec ce qui est dit dans mes lectures.

http://people.maths.ox.ac.uk/hausel/m392cr/dinapoli.pdf

chapitre 3.2 la definition 12.

merci encore j'y vois déja un peu plus clair quand meme.

Merci pour le lien. Ma justification était complétement hors sujet .

J'avoue être totalement imperméable à la convention d'Einstein. Donc je crois que je ne vais pas pouvoir t'aider davantage.

Cependant, le document ne me parait pas très clair ( des phrases comme "(M,J) est une structure presque complexe s'il existe J tel que", c'est limite). Le livre de Wells ("differential analysis on complex manifolds") est très bien pour les variétés complexes et/ou kahleriennes, mais hélàs un peu volumineux. De mémoire, je crois qu'on peut le trouver gratuitement sur le site de Springer.

[invite401b9562]

Merci pour le lien. Ma justification était complétement hors sujet .

J'avoue être totalement imperméable à la convention d'Einstein. Donc je crois que je ne vais pas pouvoir t'aider davantage.

Merci de ton aide quand meme, en fait aprés une discution avec mon rpof, j'y vois un peu plus clair, meme si j'arrive toujours pas trop a comprendre les XA et FA, je pense que lorsque je vais y passer un peu de temps ça devrais aller! En fait, je confondais, section et projection... Pourtant j'avais vue toute ces notions !

En résumé, oh moins on peut me corriger si je me trompe:

On a une variété M, à chaque point p de M, on peut définir une application qui vas de M dans TM, où TM est un fibré au dessus de du point p de M.

Cette aplication c'est une projection souvent noté pi.

Ensuite, en considérant tout les fibré au dessus de M, on obtient la fibre totale de M.

Une section c'est une application qui se "ballade" sur cette fibre totale...

C'est peut etre pas trop clair, mais pour moi, je me le représente assez bien avec des schéma et un peu de notation (comme tu l'a fait plus haut).

Cependant, le document ne me parait pas très clair ( des phrases comme "(M,J) est une structure presque complexe s'il existe J tel que", c'est limite). Le livre de Wells ("differential analysis on complex manifolds") est très bien pour les variétés complexes et/ou kahleriennes, mais hélàs un peu volumineux. De mémoire, je crois qu'on peut le trouver gratuitement sur le site de Springer.

Oui concernant la "structure presque complexe" est ce que c'est le presque qui te gène ou bien c'est parce qu'il dit (M,J) est une structure ?

Car pour le "presque" mon prof m'avais expliquer et apparament, ça a bien une définition précise et donc un sens.
Par contre je suis d'accord, l'ensemble (M,J) n'est pas une structure, ce serait plutot une variété munis d'une structure J.

merci pour les bouquins, je vais essayer d'y jeter un oeil meme si les document arxiv sont plus pratique car plus ciblé!

Merci encore.

[invite39876]

On a une variété M, à chaque point p de M, on peut définir une application qui vas de M dans TM, où TM est un fibré au dessus de du point p de M.

Cette aplication c'est une projection souvent noté pi.

Bonjour,
Justement c'est l'inverse, la projection va du fibré dans la base.
Ici, ta projection va de TM dans M.