Bonjour à tous,

J'ai voulu remontrer que IR possède la propriété de la borne supérieure, avec pour seule hypothèse que est un corps commutatif archimédien, complètement ordonné et complet. J'ai donc rédigé une démonstration (je ne pense pas qu'il y ait d'erreurs, mais si vous en voyez une, n'hésitez pas à le signaler), mais j'aimerais savoir si vous connaissez une manière de le montrer plus rapidement (ou simplement différemment). Voilà ce que j'ai écrit :

Lemme : Une suite croissante et bornée est convergente.

Il suffit de montrer qu'une suite réelle croissante et non convergente n'est pas bornée. Soit une suite réelle croissante et non convergente. En utilisant la complétude de IR, cette suite n'est pas de Cauchy, et alors on peut en extraire une sous-suite telle qu'il existe tel que pour tout , . La suite extraite étant également croissante, . La suite ne peut donc pas être bornée.

Montrons que IR vérifie la propriété de la borne supérieure :

Soit A une partie non vide majorée. Si A possède un maximum, il n'y a rien à montrer, supposons donc que A n'en possède pas. Soit . Notons . Posons .

Par réccurrence, on construit la suite telle que pour tout , avec .

Cette suite est convergente puisque croissante et bornée (lemme). Notons M sa limite et prouvons que M est la borne supérieure de A.

Soit . Si , alors . Sinon, il existe tel que (A n'ayant pas de maximum). Posons . Si , (suite croissante). Sinon, . En effet, si (qui existe puisque IR est archimédien) alors et puisque si alors , ce qui contredirait la définition de m, d'où .
Ainsi, et . D'où .

Par conséquent, M majore A. De plus, par construction, M est un point d'accumulation de A, donc M=sup(A).


Merci d'avance,
Seirios