Corps commutatif ordonné dénombrable et propriété de la borne supérieure

[Seirios]

Bonjour à tous,

Si l'on considère un corps commutatif ordonné, alors on peut dire qu'il est infini, puisque sinon il ne serait pas ordonné. De plus, on sait que s'il est muni de la propriété de la borne supérieure, il est isomorphe à ; on en déduit donc que tout corps commutatif ordonné muni de la propriété de la borne supérieure est infini et non-dénombrable. Puisqu'il est possible qu'un corps commutatif soit à la fois dénombrable et ordonné, comme par exemple, j'en déduis donc que peut-être la propriété de la borne supérieure empêche le corps d'être dénombrable.

J'aimerais donc montrer qu'un corps commutatif ordonné dénombrable ne peut pas être muni de la propriété de la borne supérieure. Pour cela, j'ai pensé à la preuve particulière sur , qui utilise les "trous" (en fait les irrationnels) dans la suite des rationnels et le fait que soit dense dans lui-même. J'aimerais donc retrouver ces deux propriétés dans le cas général ; pour la premier, cela vient du fait que est dénombrable, mais pour la seconde, je ne vois pas pourquoi tout corps commutatif ordonné dénombrable serait dense dans lui-même.

Quelqu'un pourrait-il m'aider sur ce dernier point ?

Merci d'avance,
Phys2
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[Médiat]

je ne vois pas pourquoi tout corps commutatif ordonné dénombrable serait dense dans lui-même.

Bonjour,
Par "dense dans lui-même" voulez-vous dire que

Si oui alors devrait convenir (les axiomes de corps permettent d'affirmer que ce z existe, ceux de la compatibilité de l'ordre avec les opérations permettent de les mettre dans le bon ordre).

J'aimerais donc montrer qu'un corps commutatif ordonné dénombrable ne peut pas être muni de la propriété de la borne supérieure. Pour cela, j'ai pensé à la preuve particulière sur , qui utilise les "trous" (en fait les irrationnels) dans la suite des rationnels et le fait que soit dense dans lui-même. J'aimerais donc retrouver ces deux propriétés dans le cas général ; pour la premier, cela vient du fait que est dénombrable

Je ne comprends pas bien ce passage, pourriez-vous l'expliciter ?

[Seirios]

Bonjour,
Par "dense dans lui-même" voulez-vous dire que

Si oui alors devrait convenir (les axiomes de corps permettent d'affirmer que ce z existe, ceux de la compatibilité de l'ordre avec les opérations permettent de les mettre dans le bon ordre).

C'est bien de cette propriété dont je voulais parler. J'avais effectivement pensé à poser ce z, mais comment sait-on que l'on a encore z qui appartient à notre corps ?

Je ne comprends pas bien ce passage, pourriez-vous l'expliciter ?

C'est une idée qui m'est passée par la tête, je vais essayer de la formaliser un peu, pour que ce soit plus claire.

[Médiat]

J'avais effectivement pensé à poser ce z, mais comment sait-on que l'on a encore z qui appartient à notre corps ?

Si x et y appartiennent à un corps, leur somme aussi.
Comme 1 appartient au corps, 1 + 1 aussi et comme le corps est ordonné 1 + 1 > 0 + 1 > 0. Donc 2 existe et est positif.

Pour être précis, il faudrait plutôt parler de corps totalement ordonné (en tout cas je l'ai compris ainsi).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Si x et y appartiennent à un corps, leur somme aussi.
Comme 1 appartient au corps, 1 + 1 aussi et comme le corps est ordonné 1 + 1 > 0 + 1 > 0. Donc 2 existe et est positif.

Mais si l'on travaille dans un corps quelconque, comment sait-on que 1 est un de ses éléments ? (puisque si j'ai bien compris, 1 n'est pas ici l'élément neutre, mais bien le nombre 1, tel que 1+1=2)

Pour être précis, il faudrait plutôt parler de corps totalement ordonné (en tout cas je l'ai compris ainsi).

Dans la définition que j'ai, le corps est dit ordonné, mais l'ordre est supposé total.

Voilà le raisonnement auquel je pensais : Considérons un corps commutatif, totalement ordonné et dénombrable.
Soit un ensemble non-dénombrable E tel que .

Comme est dénombrable, et non E, alors il existe . On caractérise z par , avec . (Pour , on peut par exemple choisir )

Considérons les ensembles et .
Comme est dense dans lui-même, on a doit avoir , c'est-à-dire que A n'admet pas de borne supérieure. (Ici, j'ai considéré croissante, mais on peut tout à fait généraliser le raisonnement.)

Mais, il faut justifier l'existence de E, ce qui ne me semble pas être très difficile (il me semble qu'il est possible de "compléter" un ensemble dénombrable pour qu'il devienne indénombrable ; c'est d'ailleurs ce que l'on fait d'une certaine manière en construisant à partir de ). Il faut également justifier l'existence de , et là je ne sais absolument pas comment. Finalement, il faut aussi justifier ma dernière affirmation, ce qui me semble plutôt complexe puisque est a priori quelconque...

[Médiat]

Mais si l'on travaille dans un corps quelconque, comment sait-on que 1 est un de ses éléments ? (puisque si j'ai bien compris, 1 n'est pas ici l'élément neutre, mais bien le nombre 1, tel que 1+1=2)

1 est bien l'élément neutre de la multiplication, et en général on précise dans les axiomes que 0 et différent de 1, afin d'éviter que {0}, puisse être muni d'une structure de corps.

[Médiat]

Votre méthode ne peut pas fonctionner, si elle fonctionnait elle permettrait de démontrer qu'un ensemble de même cardinal que IR ne peut pas avoir la propriété de la borne sup (il suffit de prendre un élément qui ne soit pas dans IR).

Par contre, après avoir démontré qu'un corps commutatif totalement ordonné et dénombrable est dense sans extremums pour la relation d'ordre, alors il suffit de dire que tout ordre total (je ne parle plus de corps) dense, sans extremums et dénombrable est isomorphe à qui n'a pas la propriété de la borne supérieure, donc ne l'a pas (sinon l'isomorphisme pourrait la conférer à ).

[Seirios]

Par contre, après avoir démontré qu'un corps commutatif totalement ordonné et dénombrable est dense sans extremums pour la relation d'ordre, alors il suffit de dire que tout ordre total (je ne parle plus de corps) dense, sans extremums et dénombrable est isomorphe à qui n'a pas la propriété de la borne supérieure, donc ne l'a pas (sinon l'isomorphisme pourrait la conférer à ).

Qu'est-ce qu'un ordre dense ?

[Médiat]

Qu'est-ce qu'un ordre dense ?

C'est c que vous appelez "dense dans lui-même"

[Seirios]

D'accord, donc je n'utilisais pas le bon vocabulaire. Qu'en est-il d'un ordre sans extrema et dénombrable ? Je suppose qu'un ordre sans extrema sur un ensemble signifie qu'il n'y a pas de plus petit ou plus grand élément dans cet ensemble par cet ordre ?

[Médiat]

D'accord, donc je n'utilisais pas le bon vocabulaire. Qu'en est-il d'un ordre sans extrema et dénombrable ? Je suppose qu'un ordre sans extrema sur un ensemble signifie qu'il n'y a pas de plus petit ou plus grand élément dans cet ensemble par cet ordre ?

C'est bien cela (comme (, <))

[Seirios]

Et pour un ordre dénombrable ? (Pourquoi caractériser l'ordre plutôt que le corps ?)

[Médiat]

Et pour un ordre dénombrable ? (Pourquoi caractériser l'ordre plutôt que le corps ?)

C'est l'ensemble sous-jacent qui est dénombrable.