PGCD(a+b,a-b)

[invitec3143530]

Bonjour,

Si a et b sont premiers entre eux, que peut-on dire du pgcd(a+b, a-b) ?
(il me semble qu'il peut être quelconque mais je cherche à le prouver)

J'ai peut-être un début de raisonnement :
Si on note d=pgcd(a+b, a-b)
Il existe u et v tel que d =u(a+b) + v(a-b)
donc d=a(u+v) + b(u-v)

Après je sais pas... Peut-on être peut-on fixer d et trouver a et b premiers entre eux tel que d =u(a+b) + v(a-b) ? Mais l'identité de Bézout n'a pas de réciproque donc ça suffit pas à dire que d=pgcd(a+b,a-b)...
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[invite0a963149]

Salut,

Cela fait très longtemps que j'ai pas fait d'arithmétique, mais penser a a-b = a+b-2b pourrait être utile non ?

[invitef8f652fc]

Soit
Il en découle que et ce qui équivaut à dire que ...

A partir d'ici, il te reste plus que 2 propriétés à appliquer et tu as la réponse.

[invitec3143530]

Il est donc égal soit à 1 soit à 2 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a963149]

Si d=2 alors a+b et a-b sont .......... or a et b sont .......... donc .............................. ........................... ! CQ..D !

[invitef8f652fc]

Il est donc égal soit à 1 soit à 2 ?

Oui, exemple :