Résolution d'équation

[invited927d23c]

Bonjour,

Voila, je me suis demander si il y avait possibilitée de résoudre une équation du genre :



Comme je ne crois pas j'ai essayer de faire une approximation de (2 cos x) par une parabole de sommet 2 et qui a pour racine et . Ce qui m'a donné une approximation assez bonne (j'ai verifier à l'ordi) à +/- 0.05.

Mais en cherchant un peu j'ai remarqué que (2 cos x) était beaucoup mieux approché par , on trouve facilement a qui est environ égal à 0.28 . Mais comment peut-on résoudre :



Il doit surement y avoir moyen de trouver la valeur exacte en passant pas la trigonométrie hyperbolique, mais je n'y connaîs pas grand chose. Est-ce que quelqu'un saurait comment résoudre cette équation?

Merci pour votre aide.
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[invite0dacff7f]

Comme Cos(x) est une fonction périodique je crois qu'il existe une infinité de solution à ton problème.

Bref, je serais plus porté à croire que les solutions seraient l'intersection de la parabole x²+x et de la fonction sec(x) avec un déphasage de 2 unités.

Ce type d'Équation se nomme équation transcendantales et tu pourrais probablement y trouver la solution dans un livre de mathématique approprié.

[invitedebe236f]

a que 2 solutions a premiere vu
-1,34052530821273000000
0,78839684599296500000

[invited927d23c]

Je sais qu'il n'y a que 2 solutions (j'ai laisser l'ordi résoudre graphiquement), je trouve la même chose.

Mais maintenant je me suis demander comment faire une approximation par le calcul, et en approchant 2cosx par une parabole j'ai trouvé -1.36 et 0.81 (ce qui est relativement précis). Mais comment faire de meilleurs approximation?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb85b19ce]

Tu peux utiliser un développement limité de 2cos(x) en 0, et d'ordre supérieur à 2. Plus on augmente le degré, plus la fonction est bien approchée "loin" autour de zéro.

Le problème revient tout de même au final à une résolution numérique.

[invite88e71a19]

Trace:

• on cherche les intersections de la parabole avec la courbe donc
• on observe que et donc les 2 solutions appartient a l'interval [-2,1]
• pour utiliser une methode numerique il faut individuer un interval ou on a une et une seul solution. Une petit etude graphique de la parabole et de la courbe cosinus nous suggere de considere les deux interval [-2,0] e [0,1]
• dans chaque interval on veut chercher la racine de
• on peux utiliser par exemple la methode de dicotomie (lente mais intuitive) donc (je montre juste dans [0,1] mais c'est analogue dans l'autre interval):
  
  
  
  
  Vu que f(c)<0 on considere l'nterval [c,1] et on recommence... (si tu ne connais pas cette methode cherche-la avec google). Quand tu decide de t'arreter c est la solution approchée

[invited927d23c]

Merci Odie pour cette information, je vais une fois voir pour le développement limité.

Et merci Minnolina pour cette méthode que je ne connaissais pas.

[invite0dacff7f]

Vous avez raison, il n'y a que 2 solutions possibles.

Je vais vous montrez mon erreur. j'ai premièrement décomposer le problème ainsi : (sec=1/cos)

(x²+x) * sec(x) = 2

Les faits sont :

sec(x) varie de -inf,-1],[1, +inf
x²+x est une parabole

Or, quand x augmente,x²+x augmente ausssi.
sec(x) doit diminuer et se rapproché de zéro pour compenser l'égalité à 2. Voilà l'erreur, sec(x) ne possède aucun résultat possible passant par ]-1,1[


Bref, j'avais mélangé le graphique de tan(x) à celui de sec(x).