Intégrale de racine de t²-1 ?

[invite69393e0a]

Je cherche l'intégrale de Racine(t²-1)...
Je sais la calculer en faisant le changement de variable u=Argch(t), mais je cherche à la déterminer pour avoir un résultat faisant apparaître la fonction ln...
Quel changement de variable dois-je effectuer ?
Merci d'avance !
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[invite787e8665]

Note : sqrt=racine carrée de; Int{}= intégrale de

il faut que tu pose t=ch(u)
Ceci implique :
u=ln(t+sqrt(t²-1)) et du=dt/(sqrt(t²-1)) => dt=sqrt(t²-1)du

Tu obtiens donc : Int{sqrt(t²-1)dx}=Int{(ch²(u)-1)du}

Ce qui équivaut a : Int{[(exp(u)/2+exp(-u)/2)²-1]du}

Tu développe le carré et tu met au meme dénominateur, tu as alors:

Int{[(exp(2u)+exp(-2u)-2)/4]du}

Tu sépare chaque membre et t'intègre ce qui permet d'obtenir:
-1/2u-1/8exp(-2u)+1/8exp(2u)+K ou K est une constante réelle

Tu remplace u par l'expression avec x et apres moultes calculs et simplications très chiantes, tu obtiens :

Int{sqrt(t²-1)dt}=-1/2ln(t+sqrt(t²-1))+1/2t*sqrt(t²-1)+K

[invite69393e0a]

Merci beaucoup !