Dérivation implicite de e^(x/y)

[invitefb1be9a4]

Bien le bonjour à tous, et merci de me lire.

Voilà, j'étudie l'analyse chez moi pour le plaisir, normalement je n'ai pas trop de mal, mais là, je bloque sur un problème, et je n'arrive pas à trouver une solution possible, je teste un tas de chemins différents, mais aucun n'abouti au bon résultat.

Donc voici mon problème :

e^(x/y) = x-y

Et je suis sensé obtenir (mais vous vous en doutez =) ) :
y'= ( y(y-e^(x/y) ) / (y^2 -xe^(x/y) )

Donc voilà... si vous pouvez me dire comment dériver e^(x/y) et détailler un petit peu les opérations je vous serais infiniment reconnaissant.
Merci bien
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[invite948de9fa]

bonjour,

en général la dérivation s'applique à une fonction, et là je ne vois pas quelle fonction tu veux dériver. en général on dérive une fonction par rapport à une variable, et là tu ne parle pas non plus de la variable de dérivation, surtout qu'il y en a 2 dans ton expression... du coup je ne comprends pas ta question, et je ne comprends pas non plus comment t'as trouvé le résultat sans réussir a faire le calcul

néanmoins, j'ai l'impression que la solution de ton problème serait de passer en Ln des deux côtés de l'équation...

[invitefb1be9a4]

Alors justement, c'est une dérivation implicite, c'est assez pratique.
Dans notre cas, y reste une fonction de x, et x reste la variable.

Donc si je dérive par exemple x^2 + y^2 = 25

J'ai 2x + 2yy' = 0

Je précise que d/dx (y) = d/dy (y)*dy/dx(y)

Voilà.

EDIT:
J'ai essayé avec ln, mais je n'y arrive pas non plus.
Pour ce qui est de la réponse, j'utilise un livre, le Stewart, j'ai donc la réponse à la fin, mais aucune autre explication.
Et aucun exemple ne me permets de résoudre ce problème.

[taladris]

Salut,

Aux erreurs de calculs près:

si on dérive par rapport à x, on obtient .

Et en dérivant par rapport à x, on a . ()

En utilisant l'égalité

e^(x/y) = x-y

on a



Pour trouver , il suffit de resoudre une équation. On a



soit



et donc



(je ne trouve pas le même résultat, mais il est fort probable que je me sois trompé dans mes calculs).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Donc voilà... si vous pouvez me dire comment dériver e^(x/y) et détailler un petit peu les opérations je vous serais infiniment reconnaissant.

C'est une composition, si on note z =x/y, la dérivée de e^z s'obtient par la règle pour les compositions, soit z'e^z.

Suffit alors de remplacer z par x/y et z' par la dérivée de x/y, c'est à dire par 1/y-xy'/y², et on obtient

(1/y-xy'/y²)e^x/y

EDIT : Doublon, mais je laisse quant même...

[Amanuensis]

Et en dérivant par rapport à x, on a . ()

C'est là la "différence". C'est x-y qu'il fallait dériver, et cela donne 1-y'.

[invitefb1be9a4]

Merci pour vos réponses.
Même si j'ai encore un peu de peine à saisir ^^

Ceci dit, j'ai oublié de préciser que j'ai également utiliser ma calculatrice (graphique) pour vérifier le résultat, et il est bien correcte.

Donc le résultat que j'ai donné plus haut (d'une manière assez moche, je l'admets) est correcte, et est noté de façon identique dans le livre et sur ma calculatrice.

J'ai également testé en remplaçant (x/y) par u (z chez toi) mais je n'obtiens pas la bonne réponse non plus (mais il me semble que j'ai obtenu un résultat similaire au tiens.)

Je suis vraiment navré de vous poser une telle colle ^^

[invitefb1be9a4]

Bon, bah j'ai finis par trouver la réponse, et finalement, il s'est avéré que c'était comme taladris (et la différence dans la réponse, c'était bien à cause de la dérivée de 1-y au lieu de x-y).

Alors merci à vous, et navré taladris, je n'avais pas compris la première fois que tu as posté, il me manquait justement la partie qui multipliait l'exp, ici [x/y]'. C'est assez ironique, mais je ne savais pas qu'on multipliait par sa dérivée =)

Donc voilà, je suis heureux, et on apprends de nos erreurs =)

Alors, bonne continuation à vous, et merci encore à tous.

[taladris]

C'est là la "différence". C'est x-y qu'il fallait dériver, et cela donne 1-y'.

Effectivement

Merci.