extremum et matrice hessienne

[invite0d9b859e]

Bonjour,

Voici l'énoncé:
On considère la fonction f définie sur R 3 par f(x, y, z) =+ xyz + y − z.

1) Montrer que la fonction f n’admet pas d’extremum global.
2) Montrer que A = (1, 1,−1) est l’unique point singulier de f sur .
3) Calculer la matrice hessienne H de f en A. Montrer que le spectre de H est de la forme {1, a,−a} avec a 0 (il est inutile pour cela de calculer le polynôme caractéristique de H).

Voici ce que j'ai fait:

1) Je cherche les points singuliers, et je trouve (1,1,-1).
f(1,1,-1)=3/2.
f(0,0,0)=0<f(1,1,-1) donc (1,1,-1) n'est pas un minimum global
f(2,0,0)=2>f(1,1,-1) donc (1,1,-1) n'est pas un maximum global
Cependant, il doit y avoir une autre méthode car je réponds déjà à la question suivante.

2) OK

3) Matrice hessienne en A:
Mais je ne vois pas comment trouver le spectre de la matrice sans passer par le polynôme caractéristique.
J'ai cependant une propriété qui me dit que si la matrice hessienne en A admet deux valeurs propres non nulles de signe opposé, alors f n'a pas d'extremum en A.
Mais l'implication n'est pas dans le bon sens donc je ne peux pas conclure.

Merci d'avance pour votre aide!
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[invite57a1e779]

Pour la question 1 : f(0,y,0)=y.
Donc f n'est ni majorée, ni minorée et ne peut admettre d'extremum global.

Pour la question 3 : au flair, (0,1,-1) est vecteur propre de la matrice hessienne pour la valeur propre 1. La somme des trois valeurs propres est fournie par la trace, donc la somme des autres valeurs propres est nulle.

[invite0d9b859e]

Ok, j'ai bien compris, merci