une suite stationnaire

[invite625ca7d1]

salu mes amis

j'ai du mal à comprendre cet exercice

U_n une suite de terme U₀ dans R et définie comme suite
U _n+1=4U_n-(Un)^2
montrez que si Un est convergente alors elle est stationnaire
je serai tres reconnaissante à ceux qui m'aide.
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[invite371ae0af]

stationnaire signifie que la suite prend les mêmes valeurs au bout d'un certain rang

[invite625ca7d1]

stationnaire signifie que la suite prend les mêmes valeurs au bout d'un certain rang

d'accord mais je vois pas comment demontrer ça!!!!
dois_je trouver le rang à partir duquel la suite est convergente.
et puis j'ai pensé à écrire l'enoncé sous forme de cette implication est_elle juste????? ça m'aide pour avancer dans la demonstration ou pas
, tel que tel que , on a .

|U _n- l|<epsilon ===> quelque soit n>n ₀ Un=l

[invite51d17075]

bonjour,
j'essaye une approche.
U(n+1)=4U(n)-U(n)²
U(n) convergente suppose
U(n+1)-U(n) tende vers 0
soit 3U(n)-U(n)² = U(n)(3-U(n))
donc soit U(n) tend vers 0 , soit U(n) tend vers 3.
prenons le premier cas.
U(n) tend vers 0
dans ce cas U(n)² est un °(U(n))
donc
U(n+1) tend vers 4U(n).
ce qui ne converge pas vers 0 ( donc incompatible par l'absurde ) sauf si à un moment donné U(n)=0,
et dans ce cas seul tout les U(N) suivants valent 0.

je pense qu'on peut avoir la même approche avec une convergence vers 3.

[A voir en vidéo sur Futura]